Codechef September Challenge 2019 Division 2

Preface

这确实应该是我打过的比较水的CC了（其实就打过两场）

但由于我太弱了打的都是Div2，所以会认为上一场更简单，其实上一场Div的数据结构是真的毒

好了废话不多说快速地讲一下

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A Easy Fibonacci

手玩一下那个删数的过程就是求一个最大的\(2^k\le n\)，然后剩下的斐波那契数列某一位膜\(10\)可找循环节可矩乘

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=2,mod=10;
inline void inc(int& x,CI y)
{
	if ((x+=y)>=mod) x-=mod;
}
struct Matrix
{
	int mat[N][N],n,m;
	inline Matrix(CI N=0,CI M=0)
	{
		n=N; m=M; memset(mat,0,sizeof(mat));
	}
	inline int* operator [] (CI x) { return mat[x]; }
	friend inline Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)
	{
		Matrix C(A.n,B.m); for (RI i=0;i<C.n;++i)
		for (RI j=0;j<C.m;++j) for (RI k=0;k<A.m;++k)
		inc(C[i][j],1LL*A[i][k]*B[k][j]%mod); return C;
	}
	friend inline Matrix operator ^ (Matrix A,long long p)
	{
		Matrix T(A.n,A.m); for (RI i=0;i<A.n;++i) T[i][i]=1;
		for (;p;p>>=1,A=A*A) if (p&1) T=T*A; return T;
	}
}; int t; long long n,p;
int main()
{
	for (scanf("%d",&t);t;--t)
	{
		for (scanf("%lld",&n),p=1;(p<<1LL)<=n;p<<=1LL);
		if (p==1) { puts("0"); continue; }
		Matrix S(2,1),D(2,2); S[0][0]=D[0][0]=D[0][1]=D[1][0]=1;
		S=(D^(p-2))*S; printf("%d\n",S[0][0]);
	}
	return 0;
}

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B Chef and Interesting Subsequences

原谅我的菜，刚开始看到这数据范围写了个meet in middle才发现跑不过

后来发现直接把数字排个序那么只有最大的那个可以随便取，组合数算一下即可

注意不要取膜！

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=55;
int t,n,k,a[N];
inline long long C(CI n,CI m,long long ret=1)
{
	for (RI i=1;i<=n-m;++i) ret=ret*(m+i)/i; return ret;
}
int main()
{
	//freopen("B.in","r",stdin);
	for (scanf("%d",&t);t;--t)
	{
		RI i; for (scanf("%d%d",&n,&k),i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]); sort(a+1,a+n+1); int lst=a[k],c1=0,c2=0;
		for (i=1;i<=k;++i) if (a[i]==lst) ++c1;
		for (i=1;i<=n;++i) if (a[i]==lst) ++c2;
		printf("%lld\n",C(c2,c1));
	}
	return 0;
}

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C Chef Designed a Network

套路的分类讨论题，主要是注意小数据

我们发现最优连边方案一定是先连一条链，然后连接两端点的自环

接下来连接所有点的自环，然后连接两端点

注意了这点之后后面的就\(n\)个\(n\)个地一连即可

注意一下各种各样的细节

#include<cstdio>
using namespace std;
int t,n; long long m;
int main()
{
	for (scanf("%d",&t);t;--t)
	{
		scanf("%d%lld",&n,&m);
		if (n==1) { printf("%d\n",m<=1?m:-1); continue; }
		if (m<n-1||m>((1LL*n*(n-1)>>1LL)+n)) { puts("-1"); continue; }
		if (n==2) { puts(m==1?"1":"2"); continue; }
		if (m<=n+1) { puts("2"); continue; }
		if (m<=(n<<1)) { puts("3"); continue; }
		m-=(n<<1); if (n&1)
		{
			int ans=3,d=m/n; ans+=(d<<1); m-=1LL*n*d;
			if (!m) { printf("%d\n",ans); continue; }
			if (m<=(n>>1)) printf("%d\n",ans+1); else printf("%d\n",ans+2);
		} else printf("%d\n",3+m/(n>>1)+(m%(n>>1)?1:0));
	}
	return 0;
}

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D Chef and Good Subsequences

\(\le 8000\)的质数很少，因此我们考虑直接把这个扔到状态里

但是还是不好处理，我们发现这是个子序列，那么意味着我排个序照样能做

那么就很简单了，我们选数的限制就是要求强制递增并且与上一个数不同，令\(f_{i,j}\)表示选到\(i\)，上个结尾的质数排名是\(j\)的方案数

很容易发现对于不同的数字统计前缀和即可，复杂度\(O(n\cdot \pi(8000))\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=100005,mod=1e9+7;
int n,k,a[N],ct,ans,sum[N],f[N]; bool vis[N];
inline void inc(int& x,CI y)
{
	if ((x+=y)>=mod) x-=mod;
}
int main()
{
	RI i,j; for (scanf("%d%d",&n,&k),i=1;i<=n;++i)
	scanf("%d",&a[i]),!vis[a[i]]&&(vis[a[i]]=1,++ct);
	for (sort(a+1,a+n+1),k=ct<k?ct:k,ans=sum[0]=i=1;i<=n;++i)
	{
		for (j=1;j<=k;++j) inc(ans,sum[j-1]),inc(f[j],sum[j-1]);
		if (a[i]!=a[i+1]) for (j=1;j<=k;++j) inc(sum[j],f[j]),f[j]=0;
	}
	return printf("%d",ans),0;
}

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E Biladerim Icin

首先我们发现原式子等价于\((a-1)\cdot x^2+2bxy+(c-1)\cdot y^2\)必有\(a>1,c>1\)，因此把\(a,c\)减去\(1\)同时变为\(ax^2+2bxy+cy^2\)

考虑配方法，上面的式子等价于\((\sqrt a\cdot x+\frac{b}{\sqrt a}\cdot y)^2+(c-\frac{b^2}{a})\cdot y^2>0\)

由于前面的一项必定不为\(0\)那么只要\(c-\frac{b^2}{a}>0\)即\(ac>b^2\)即可

刚开始我naive地准备除法分块，但是蓝指导指导我只要分类讨论一下即可

考虑\(ac>b^2\)只有以下两种情况：\(a>b\)且\(c>b\)或\(a,c\)中一个\(>b\)，另一个\(\le b\)

前面的直接算一下就好了，后面的枚举其中一个\(\le b\)的，然后直接除过去看下另外一边的范围即可

复杂度\(O(b^2)\)，代码十分好写

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int t,a,b,c,ans;
inline void inc(int& x,CI y)
{
	if ((x+=y)>=mod) x-=mod;
}
int main()
{
	//freopen("E.in","r",stdin); freopen("E.out","w",stdout);
	for (scanf("%d",&t);t;--t)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); --a; --c; ans=0;
		for (RI i=1,j;i<=b;++i)
		{
			inc(ans,1LL*max(a-i,0)*max(c-i,0)%mod);
			for (j=min(i,a);j;--j) inc(ans,max(c-i*i/j,0));
			for (j=min(i,c);j;--j) inc(ans,max(a-i*i/j,0));
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

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F Fuzzy Linear Combinations

首先那个奇怪的方程只要用裴蜀定理转化一下就变成统一区间\(\gcd\)为某值的题目了

刚开始我想了一个分治+二分的做法，基于\(\gcd\)的变化是\(\log\)级别的可以做到\(O(n\log^3 n)\)的复杂度（主要算\(\gcd\)要\(\log\)）

后来一想既然都是\(\log\)级别的了直接统计出以每一个点位右端点是所有后缀的答案，直接转移即可，复杂度就是\(O(n\log^2 n)\)的

以下代码是脑抽了写出来的，手动实现了一个类似map的东西，建议大家用map

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=100005,LIM=1e6;
//int mx;
struct data
{
	int v[N],num[N],cnt,rst[N],tp[N];
	inline void insert(CI x,CI y)
	{
		v[++cnt]=x; num[cnt]=y;
	}
	inline void reunoin(void)
	{
		//mx=max(mx,cnt);
		RI i,j; for (i=1;i<cnt;++i) for (j=i+1;j<=cnt;++j)
		if (v[i]>v[j]) swap(v[i],v[j]),swap(num[i],num[j]);
		for (i=1;i<=cnt;++i) rst[i]=v[i]; int nc=unique(rst+1,rst+cnt+1)-rst-1;
		for (i=1;i<=nc;++i) tp[i]=0; for (i=1;i<=cnt;++i)
		tp[lower_bound(rst+1,rst+nc+1,v[i])-rst]+=num[i];
		for (i=1;i<=nc;++i) v[i]=rst[i],num[i]=tp[i]; cnt=nc;
	}
}lst,nw; int n,q,k,a[N],x; long long bkt[LIM+5];
inline int gcd(CI n,CI m)
{
	return m?gcd(m,n%m):n;
}
int main()
{
	//freopen("E.in","r",stdin); freopen("E.out","w",stdout);
	RI i,j; for (scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
	for (lst.insert(a[1],1),(a[1]<=LIM&&(bkt[a[1]]=1)),i=2;i<=n;++i)
	{
		for (nw.insert(a[i],1),j=1;j<=lst.cnt;++j)
		nw.insert(gcd(lst.v[j],a[i]),lst.num[j]);
		for (j=1;j<=nw.cnt;++j) if (nw.v[j]<=LIM) bkt[nw.v[j]]+=nw.num[j];
		for (nw.reunoin(),j=1;j<=nw.cnt;++j) lst.v[j]=nw.v[j],lst.num[j]=nw.num[j];
		for (lst.cnt=nw.cnt,j=1;j<=nw.cnt;++j) nw.v[j]=nw.num[j]=0; nw.cnt=0;
	}
	//for (i=1;i<=10;++i) printf("%d ",bkt[i]); putchar('\n');
	//printf("%d\n",mx);
	for (scanf("%d",&q),i=1;i<=q;++i)
	{
		long long ans=0; for (scanf("%d",&x),j=1;j*j<=x;++j)
		if (x%j==0) ans+=bkt[j]+(x/j!=j?bkt[x/j]:0); printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

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G Doofish Set

本场比赛唯一需要思考的一道题目，还是卡了一下的

首先我们发现有个完全图的部分分，考虑下怎么做

很容易想到分治或者二进制分组的做法，二进制分组的话就是用\(\log\)级别的操作来使得每两个数必然有至少一次被分在不同的集合里

那么做法也出来了，不是完全图的话我们就每次把它补图的最大团找出来缩起来，然后看下缩完的图是不是完全图，是的话在继续套用上面的方法即可

是不是很简单，注意一下各种奇怪的细节

#include<cstdio>
#include<set>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=100005;
struct edge
{
	int to,nxt;
}e[N<<2]; int head[N],n,m,x,y,cnt,bel[N],deg[N],ct[N],tot,lim; set <int> s; bool vis[N];
inline void addedge(CI x,CI y)
{
	e[++cnt]=(edge){y,head[x]}; head[x]=cnt; ++deg[x];
	e[++cnt]=(edge){x,head[y]}; head[y]=cnt; ++deg[y];
}
int main()
{
	//freopen("G.in","r",stdin); freopen("G.out","w",stdout);
	RI i,j; for (scanf("%d%d",&n,&m),i=1;i<=m;++i)
	scanf("%d%d",&x,&y),addedge(x,y); for (i=1;i<=n;++i) s.insert(i);
	for (i=1;i<=n;++i) if (!bel[i])
	{
		if (s.count(i)) s.erase(i); for (ct[bel[i]=++tot]=1,j=head[i];j;j=e[j].nxt)
		if (!bel[e[j].to]&&s.count(e[j].to)) s.erase(e[j].to),vis[e[j].to]=1;
		for (set <int>::iterator it=s.begin();it!=s.end();++it) ++ct[tot],bel[*it]=tot;
		for (s.clear(),j=head[i];j;j=e[j].nxt)
		if (vis[e[j].to]) s.insert(e[j].to),vis[e[j].to]=0;
	}
	for (i=1;i<=n;++i)
	{
		if (deg[i]!=n-ct[bel[i]]) return puts("-1"),0;
		for (j=head[i];j;j=e[j].nxt) if (bel[e[j].to]==bel[i]) return puts("-1"),0;
	}
	if (!m) return puts("0"),0; for (lim=1;(1<<lim)<tot;++lim);
	if (lim*n>1000000) return puts("-1"),0;
	for (printf("%d\n",lim),i=0;i<lim;++i,putchar('\n'))
	for (j=1;j<=n;++j) printf("%d",(bel[j]-1>>i)&1);
	return 0;
}

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Postscript

最后还是涨了两百多分，终于脱离了Div2的魔爪了233

话说为什么这么多人去打Challenge了啊，害的这场排名比上一次低了好多

总而言之我还是太菜了