支持向量机(SVM)可以说是一个完全由数学理论和公式进行应用的一种机器学习算法,在小批量数据分类上准确度高、性能好,在二分类问题上有广泛的应用。

同样是二分类算法,支持向量机和逻辑回归有很多相似性,都是二分类问题的判决模型,主要的差异在于损失函数的不同,支持向量机相比于逻辑回归,更倾向于找到样本空间中最优的划分超平面。

首先说一下超平面的概念:超平面是一个数学概念,而不好以物理概念解释,因为画不出来:)。n维空间的超平面表示 Wtx + b = 0。二维空间中,超平面是一条直线,三维空间中,超平面是一个平面,以此类推...

--线性支持向量机

我们先假设数据集是线性可分的,这是使用SVM的前提条件(线性不可分其实也有办法解决,后面再说),什么是线性可分呢?

线性可分:对于二维(两个特征)数据集来说,如果存在一条直线,能把这两类数据完全区分开,就说这个数据集是线性可分的。如果多维(k个特征)数据,存在一个维度为k-1的超平面能完全分开两类数据,也称为线性可分。

SVM要解决的问题:就是在样本空间中找到最优(最鲁棒、泛化能力最强)划分超平面。如下图所示,能把两类点分开来的直线有很多,但哪条是最优的呢,这就是SVM要解决的问题。

最优超平面有个非常拗口的解释:离超平面最近的特征向量有最大的离超平面的间隔距离。

假设最优超平面为 Wtx + b = f(x),如下图所示,当f(x)为0的时候,x便是位于超平面上的点,f(x)>0的点对应红色的点,f(x)<0对应蓝色五角星的点,虚线上的点就是距离超平面最近的样本点,也就是“支持向量(Support Vector)”,支持向量机就是要找到距离支持向量距离之和最大的超平面。

两个异类支持向量到超平面距离之和称为“间隔”,间隔的大小计算公式为

SVM的基本模型如下,其中s.t是限制条件,可以理解为在限制条件下,找到满足间隔距离最大的w和b。这就演变成一个带约束的二次规划问题,是一个凸问题,在数学上可以引入拉格朗日函数和对偶变量来求解,这个过程完全是数学推导,非常复杂,感兴趣的可以在网上找资料看看。

--非线性支持向量机

相比较线性可分,另一种情况就是非线性可分,如下图,二维空间中,两类数据点无法通过一条直线分开,这时候可以考虑将原始空间映射到一个更高维度的特征空间,使得样本在这个高维特征空间内线性可分。例如把下列二维数据点映射到三维空间后,就能找到一个平面将两类点完美划分开。

表示映射后的特征向量,则在高维空间中的超平面模型可表示为:

这里ϕ是低维空间到高维空间的映射,这里面有两层含义:

(1)首先使用一个非线性映射将样本空间变换到一个高维特征空间;

(2)再在高维特征空间中使用线性分类器进行分类。

但这样就会出现一个问题,如果凡是遇到线性不可分的情况就映射到高维空间,那有可能维度加得非常多,才能进行线性划分,这样带来的计算复杂度太高,引入“核函数”就是为了解决这个问题。
核函数:假设ϕ是一个从低维空间χ  到高维空间H的映射,存在如下函数,就称为核函数。表示两个原始数据x,z在低维空间中的内积(主要用来衡量两个向量的相似度)。

核函数的作用在于:在低维度上进行内积计算,但把实质的分类效果表现在了高维度上,大大降低了计算的复杂度。

      什么样的函数才能充当核函数呢:只要一个对称函数所对应的核矩阵半正定,那它就能作为核函数。这是个很复杂的数学问题,就不展开了,常用的核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数、Sigmoid核函数在各种机器学习框架中都是现成的,可以直接拿来用。

-- 软间隔支持向量机     

在现实问题中,哪怕是用到了核函数,在高维空间中对样本也可能不能线性划分,这就引入了”软间隔支持向量机“。在这种情况下,我们需要允许一些数据点不满足约束条件,即可以在一定程度上偏移超平面,但同时要使得不满足约束条件的数据点尽可能少。如下图,黑圈圈起来的蓝色点就是一个不满足约束条件的点。核心思想就是允许在极少部分样本上出错,但能减低计算复杂度得到一个不过拟合的SVM模型。

软间隔支持向量机的模型可以表示为,相比硬间隔支持向量机,多了一个惩罚项,也可以把它理解为损失函数,C为权重,用以表示该样本不满足约束的程度,C值越大,对分错样本的惩罚力度越大,在训练样本中准确度高,但泛化能力弱;如果减小C的话,则容许训练样本中有一些错误分类,容许有噪声情况,但泛化能力强。

支持向量机特点:

- 在小规模数据训练中,SVM相比较LR、随机森林等分类器,效果更好;

- 在非线性特征空间中,效果较好;

- 在数据量庞大的情况下,效果不一定好;

- SVM不能产生分类的概率值,

支持向量机被认为是在文本分类领域效果最好的机器学习算法,在工业界主要应用在网页分类、微博情感分析、舆情监控、用户评论挖掘、文本过滤等诸多领域。

-- SVM在Sklearn中的应用

-Python 代码

import pandas as pd
from sklearn import datasets
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn import svm breast_data = datasets.load_breast_cancer()
data = pd.DataFrame(datasets.load_breast_cancer().data) data.columns = breast_data['feature_names'] data_np = breast_data['data']
target_np = breast_data['target'] train_X,test_X, train_y, test_y = train_test_split(data_np,target_np,test_size = 0.1,random_state = 0) '''
采用线性核函数进行分类
kernel可用参数:
"linear": 线性核函数
"poly": 多项式核函数
"rbf" : 径像核函数/高斯核函数
"sigmoid":核矩阵
'''
model = svm.SVC(kernel='linear', C=2.0)
model.fit(train_X, train_y) y_pred = model.predict(test_X)
print(accuracy_score(test_y, y_pred))

作者:华为云专家周捷

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