AT1983 BBQ Hard

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题意翻译

有 n 个数对 \((A_i​; B_i​)\)，求出 $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i + 1}^{n}{a_i+b_i+a_j+b_j \choose a_i+a_j}$$ 答案对1e9+7取模

• \(2≦N≦200,000\)
• \(1≦A_i≦2000,\ 1≦B_i≦2000\)

题解: 考虑\(C_{a_i+b_i}^{b_i}\)的实际意义,实际上它相当于从\((0,0)\)出发,走到\((a_i,b_i)\)的方案数,那么\(C_{a_i+b_i+a_j+b_j}^{a_i+a_j}\)也就相当与从\((0,0)\)出发,走到\((a_i+a_j,b_i+b_j)\)的方案数.

如何统计从\((0,0)\)出发,走到\((a_i+a_j,b_i+b_j)\)的方案数呢?可以用\(f[i][j]\)表示从\((0,0)\)出发,走到\((i,j)\)的方案数,则有\(f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]\)(从左边过来或从下面过来),答案就是\(f[a_i][b_i]\)

考虑将坐标轴平移,将\(C_{a_i+b_i+a_j+b_j}^{a_i+a_j}\)看做从\((-a_i,-b_i)\)走到\((a_j,b_j)\)的方案数.

那么问题来了:为什么不统一从\((0,0)\)出发,而是要将坐标轴平移呢?我们再观察上面的式子,会发现如果统一从\((0,0)\)出发,那么就需要统计\(n^2\)个终点的答案,而在平移坐标轴之后只需要给\(n\)个起点赋初始值,最后统计\(n\)个终点的答案.

但是如果这样计算相当与统计了$$\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}{n}{a_i+b_i+a_j+b_j \choose a_i+a_j}$$

要减去重复的部分,也就是答案相当与:$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i + 1}^{n}{a_i+b_i+a_j+b_j \choose a_i+a_j}=\frac{\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}{n}{a_i+b_i+a_j+b_j \choose a_i+a_j}-\sum_{i=1}^n{(a_i+b_i)2 \choose a_i2}}{2}$$

因为从\((-a_i,-b_i)\)到\((a_j,b_j)\)和从\((-a_j,-b_j)\)到\((a_i,b_i)\)的方案是一样的.

因为起点是负数,所以可以给负数加上一个比较大的值使它在数组中下标的位置为正数.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
const int BASE = 2002;
const int mod = 1e9+7;

int n, a[N], b[N], ans = 0, f[BASE*2+5][BASE*2+5], inv[N], fac[N], pinv[N];

void init(){
    fac[0] = inv[0] = pinv[0] = fac[1] = inv[1] = pinv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= BASE*4; i++){
        fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%mod;
        inv[i] = 1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        pinv[i] = 1ll*pinv[i-1]*inv[i]%mod;
    }
}

int C(int n, int m){ return 1ll*fac[n]*pinv[m]%mod*pinv[n-m]%mod; }

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n, init();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i] >> b[i], f[BASE-a[i]][BASE-b[i]]++;
    for(int i = 1; i <= BASE*2; i++)
        for(int j = 1; j <= BASE*2; j++)
            (f[i][j] += (f[i-1][j]+f[i][j-1])%mod) %= mod;
    for(int i = 1; i <= n; i++) (ans += f[a[i]+BASE][b[i]+BASE]) %= mod;
    for(int i = 1; i <= n; i++) (ans += mod-C((a[i]+b[i])*2, b[i]*2)) %= mod;
    ans = 1ll*ans*inv[2]%mod;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}