MT【146】一边柯西，一边舍弃

(2018浙江省赛9题)
设$x,y\in R$满足$x-6\sqrt{y}-4\sqrt{x-y}+12=0$,求$x$的范围______

解答:
$x+12=6\sqrt{y}+4\sqrt{x-y}$
注意到:$6\sqrt{y}+4\sqrt{x-y}\le\sqrt{(6^2+4^2)(y+x-y)}=\sqrt{52x}$且
$6\sqrt{y}+4\sqrt{x-y}\ge4(\sqrt{y}+\sqrt{x-y})\ge4\sqrt{x}$
故$4\sqrt{x}\le x+12\le\sqrt{52x}$得$x\in[14-2\sqrt{13},14+2\sqrt{13}]$

评:一个不等式只能消灭一个最值，求范围就需要两边两个不等式。

练习:

若实数$x,y$满足$x-4\sqrt{y}=2\sqrt{x-y}$,求$x$的范围____
答案:$x=0\vee 4\le x\le20$

相应的技巧可以看MT【68】