bzoj2095: [Poi2010]Bridges(二分+混合图求欧拉回路)
这篇题解讲的真吼->这里
首先我们可以二分一个答案,然后把所有权值小于这个答案的都加入图中
那么问题就转化为一张混合图(既有有向边又有无向边)中是否存在欧拉回路
首先
无向图存在欧拉回路,当且仅当图的所有顶点度数都为偶数且图连通。
有向图存在欧拉回路,当且仅当图的所有顶点入度等于出度且图连通。
那么我们怎么判断混合图的欧拉回路是否存在呢?
我们把无向边的边随便定向,然后计算每一个点的入度和出度。如果有某一个点的入度和出度之差是奇数,那么肯定不存在欧拉回路。
因为欧拉回路要求入度等于出度,也就是总度数为偶数,所以有奇数度点肯定不存在欧拉回路
那么现在每个点的入度和出度之差都是偶数,我们把它除以二,设为$x$,那么,对于每一个点,我们只要改变与它相连的$x$条边的方向改变,它就能保证入度等于出度。如果每个点都能这样,那么这张图就存在一个欧拉回路
那么我们该改变哪些边来让点的出度等于入度呢?首先,有向边不能改变,忽略。然后我们一开始不是把无向边定向了么?那我们就按照定的向构建网络,边长容量$1$。然后新建源点和汇点,如果入度大于出度,则将点向汇点连边,容量为$x$,如果出度大于入度,则将源点向该点连边,容量为$x$。然后我们只要跑一个最大流,看看能否使网络满流。若可以,则有解,否则无解
考虑为什么。我们把网络中每一条满流的边(也就是流量非0的边)反向,就能得到一个每点入度等于出度的欧拉图。因为这个网络满流,所以每一个入度大于出度的点都会有$x$条边进来,把这$x$条边反向就能使它入度等于出度。出度大于入度的点同理。那么,既没和源点连也没和汇点连的点怎么办呢?因为这样的点必定是入度等于出度的,那么在网络流过程中他们属于中间点,那么必定满足流量守恒,所以进来的流量和出去的流量是一样的,那么反向之后仍然保持平衡
解决了
//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,:;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,:;}
inline int read(){
#define num ch-'0'
char ch;bool flag=;int res;
while(!isdigit(ch=getc()))
(ch=='-')&&(flag=true);
for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
(flag)&&(res=-res);
#undef num
return res;
}
const int N=,M=;
int head[N],Next[M],ver[M],edge[M],tot;
int out[N],in[N],u[N],v[N],w1[N],w2[N],sum;
int dep[N],cur[N];
int n,m,s,t;
queue<int> q;
inline void add(int u,int v,int e){
ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=;
}
bool bfs(){
memset(dep,-,sizeof(dep));
while(!q.empty()) q.pop();
for(int i=s;i<=t;++i) cur[i]=head[i];
q.push(s),dep[s]=;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
int v=ver[i];
if(dep[v]<&&edge[i]){
dep[v]=dep[u]+,q.push(v);
if(v==t) return true;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int u,int limit){
if(u==t||!limit) return limit;
int flow=,f;
for(int i=cur[u];i;i=Next[i]){
int v=ver[i];cur[u]=i;
if(dep[v]==dep[u]+&&(f=dfs(v,min(limit,edge[i])))){
flow+=f,limit-=f;
edge[i]-=f,edge[i^]+=f;
if(!limit) break;
}
}
if(!flow) dep[u]=-;
return flow;
}
int dinic(){
int flow=;
while(bfs()) flow+=dfs(s,inf);
return flow;
}
bool check(int mid){
memset(head,,sizeof(head)),tot=;
memset(out,,sizeof(out));
memset(in,,sizeof(in));
sum=;
for(int i=;i<=m;++i){
if(w1[i]<=mid) ++out[u[i]],++in[v[i]];//有向边记入度和出度
if(w2[i]<=mid) add(u[i],v[i],);//无向边随便定个方向
}
for(int i=;i<=n;++i) if(abs(in[i]-out[i])&) return false;
for(int i=;i<=n;++i){
int x=in[i]-out[i];
sum+=x>?x>>:;
if(x>) add(i,t,x>>);
if(x<) add(s,i,(-x)>>);
}
return dinic()==sum;
}
int main(){
//freopen("testdata.in","r",stdin);
n=read(),m=read(),s=,t=n+;
int l=inf,r=-inf;
for(int i=;i<=m;++i){
u[i]=read(),v[i]=read(),w1[i]=read(),w2[i]=read();
if(w1[i]>w2[i]) swap(u[i],v[i]),swap(w1[i],w2[i]);
cmin(l,w1[i]),cmax(r,w2[i]);
}
while(l<=r){
int mid=l+r>>;
if(check(mid)) r=mid-;else l=mid+;
}
if(!check(l)) puts("NIE");else printf("%d\n",l);
return ;
}
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