【09NOIP提高组】Hankson 的趣味题(信息学奥赛一本通 1856)(洛谷 1072)
题目描述
Hanks 博士是BT (Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家,他的儿子名叫Hankson。现在,刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数a0,a1,b0,b1,设某未知正整数x 满足:
1、x 和a0 的最大公约数是a1;
2、x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后,他发现这样的x 并不唯一,甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入格式
输入文件名为 son.in。第一行为一个正整数n,表示有n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据,为四个正整数a0,a1,b0,b1,每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0 能被a1 整除,b1 能被b0 整除。
输出格式
输出文件 son.out 共n 行。每组输入数据的输出结果占一行,为一个整数。对于每组数据:若不存在这样的 x,请输出0;若存在这样的 x,请输出满足条件的x 的个数;
样例数据 1
输入
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出
6
2「说明」第一组输入数据,x 可以是9、18、36、72、144、288,共有6 个。第二组输入数据,x 可以是48、1776,共有2 个。
备注
「数据范围」
对于 50%的数据,保证有1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据,保证有1≤a0,a1,b0,b1≤2,000,000,000 且n≤2000。
这道题呢,可以说是有很多种解法,我在这里简单讲三种。
方法一:(可得五十分)
由gcd(x,a0)=a1,lcm(x,b0)=b1,可知a1<=x<=b1,因此可以在这个区间内枚举x,求出此时的a1' 和b1',判断是否与原题给出的a1,b1相等。
方法二:(可得七十分)
令b0=t*m,x=t*n,gcd(m,n)=1,推出b1=t*m*n。而b1/b0=(t*m*n)/(t*m)=n为x的一个因子,这样就可以在已知一个因子的情况下,枚举进行判断。
--->以上两种方法都并不是很难想,在考场上能得到这部分保底分已经足够了,就算没有把握AC,能骗到部分分也挺好的啦(*´・v・)
方法三:(可得一百分)
由题意得b0*x=b1*gcd(x,b0),x=b1/b0*gcd(x,b0),令i=gcd(x,b0)∈[1,根号b0],分别判断x=b1/b0*i和x=b1/b0*(b0/i)是否满足条件,然后还要注意处理特殊情况(即当根号b0恰好也满足条件时)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+,inf=<<;
long long n,ans,tot;
int read()
{
int f=;char ch;
while((ch=getchar())<''||ch>'')
if(ch=='-')f=-;
int res=ch-'';
while((ch=getchar())>=''&&ch<='')
res=res*+ch-'';
return res*f;
}
void write(int x)
{
if(x<)
{
putchar('-');
x=-x;
}
if(x>)write(x/);
putchar(x%+'');
}
int gcd(int x,int y)
{
if(y==)return x;
else return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
n=read();
while(n--)
{
int a0,a1,b0,b1;
a0=read();a1=read();b0=read();b1=read();
ans=;
for(int i=;i*i<b0;i++)
if(b0%i==)
{
int x=b1/b0*i;
if(gcd(x,b0)==i&&gcd(x,a0)==a1)ans++;
x=b1/b0*(b0/i);
if(gcd(x,b0)==b0/i&&gcd(x,a0)==a1)ans++;
}
int k=int(sqrt(b0));
if(k*k==b0)
{
int x=b1/b0*k;
if(gcd(x,b0)==k&&gcd(x,a0)==a1)ans++;
}
write(ans);
putchar('\n');
}
return ;
}
当然,这道优秀的题目还有其他的做法也很不错,我个人推荐一下以下两种做法
点击查看优秀代码1 点击查看优秀代码2
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