【刷题】LOJ 556 「Antileaf's Round」咱们去烧菜吧

题目描述

你有 \(m\) 种物品，第 \(i\) 种物品的大小为 \(a_i\) ​，数量为 \(b_i\)​（ \(b_i=0\) 表示有无限个）。

你还有 \(n\) 个背包，体积分别为 \(1\) 到 \(n\) ，现在你很想知道用这些物品填满某个背包的方案数。

为了满足你的好奇心，你决定把填满每个背包的方案数都算一遍。

因为你其实只是闲得无聊，所以你只想知道方案数对 \(998244353\)（ \(7\times 17\times 2^{23}+1\)，一个质数）取模后的值。

输入格式

第一行两个非负整数，分别表示 \(n,m\)。

以下 \(m\) 行，每行两个非负整数，分别表示 \(a_i,b_i\) ​。

输出格式

输出 \(n\) 个非负整数表示答案。

样例

样例输入

5 3
1 0
1 1
3 2

样例输出

2
2
3
4
4

样例解释

拼出 \(1\) ~ \(5\) 的方案分别如下：

\(\{1_1\},\{1_2\}\)

\(\{1_1,1_1\},\{1_1,1_2\}\)

\(\{1_1,1_1,1_1\},\{1_1,1_1,1_2\},\{3\}\)

\(\{1_1,1_1,1_1,1_1\},\{1_1,1_1,1_1,1_2\},\{1_1,3\},\{1_2,3\}\)

\(\{1_1,1_1,1_1,1_1,1_1\},\{1_1,1_1,1_1,1_1,1_2\},\{1_1,1_1,3\},\{1_1,1_2,3\}\)

数据范围与提示

\(0<n,m \leq 10^5,0 \leq a_i​ \leq 110000,0 \leq b_i \leq 10^6\)。

题解

数量无限的物品的生成函数为：\(\sum_{i=0}^{+\infty}x^{ia_i}=\frac{1}{1-x^{a_i}}\)

数量有限的物品的生成函数为：\(\sum_{i=0}^{b_i}x^{ia_i}=\frac{1-x^{(b_i+1)a_i}}{1-x^{a_i}}\)

将所有物品的生成函数乘起来就是答案的生成函数，即（假设全部都有限）：

\(\begin{aligned}
ans
&= \prod_{i=1}^m\frac{1-x^{(b_i+1)a_i}}{1-x^{a_i}} \\
&= \exp{\sum_{i=1}^m (\ln (1-x^{(b_i+1)a_i})-\ln (1-x^{a_i}))}
\end{aligned}\)

然后我们知道：\(-\ln(1-x)=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{x^i}{i}\) ，所以

\(\ln (1-x^{(b_i+1)a_i})=\sum_{i=1}^{+\infty}-\frac{1}{i}x^{(b_i+1)a_i}\)

\(\ln (1-x^{a_i})=\sum_{i=1}^{+\infty}-\frac{1}{i}x^{a_i}\)

那么对于物品，可以 \(O(n \ln{n} )\) 地把它们的贡献加到OGF上，然后做多项式exp就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define ft first
#define sd second
#define pb(a) push_back(a)
#define PII std::pair<int,int>
#define PLL std::pair<ll,ll>
#define mp(a,b) std::make_pair(a,b)
#define ITR(a,b) for(auto a:b)
#define REP(a,b,c) for(register int a=(b),a##end=(c);a<=a##end;++a)
#define DEP(a,b,c) for(register int a=(b),a##end=(c);a>=a##end;--a)
const int MAXN=1<<21,Mod=998244353;
int M[MAXN];
ll OGF[MAXN],ans[MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline bool chkmin(T &x,T y){return y<x?(x=y,true):false;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &x,T y){return y>x?(x=y,true):false;}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
namespace poly{
	const int Mod=998244353;
	int rev[MAXN];
	ll b[MAXN],c[MAXN],tmp[MAXN],inv2,inv3,invm,pw[MAXN],ipw[MAXN],iv[MAXN];
	inline ll qexp(ll a,ll b)
	{
		ll res=1;
		while(b)
		{
			if(b&1)res=res*a%Mod;
			a=a*a%Mod;
			b>>=1;
		}
		return res;
	}
	inline void init(int n)
	{
		inv2=qexp(2,Mod-2);inv3=qexp(3,Mod-2);
		for(register int l=1;l<=(n<<2);l<<=1)
			pw[l]=qexp(3,(Mod-1)/l),ipw[l]=qexp(inv3,(Mod-1)/l);
		REP(i,1,n+n+1)iv[i]=qexp(i,Mod-2);
	}
	inline void NTT(ll *A,int n,int tp)
	{
		REP(i,0,n-1)if(i<rev[i])std::swap(A[i],A[rev[i]]);
		for(register int l=2;l<=n;l<<=1)
		{
			ll wn=tp>0?pw[l]:ipw[l];
			for(register int i=0;i<n;i+=l)
			{
				ll w=1;
				for(register int j=0;j<(l>>1);++j)
				{
					ll A1=A[i+j],A2=1ll*A[i+j+(l>>1)]*w%Mod;
					A[i+j]=(A1+A2)%Mod,A[i+j+(l>>1)]=(A1-A2+Mod)%Mod;
					w=1ll*w*wn%Mod;
				}
			}
		}
	}
	inline void Get_Mul(int n,ll *A,ll *B,ll *C)
	{
		int m,cnt;
		for(m=1,cnt=0;m<n;m<<=1,++cnt);
		REP(i,0,m-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));
		NTT(A,m,1);NTT(B,m,1);
		REP(i,0,m-1)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%Mod;
		NTT(A,m,-1);
		invm=qexp(m,Mod-2);
		REP(i,0,n-1)C[i]=1ll*A[i]*invm%Mod;
	}
	inline void Get_Inv(int len,ll *A,ll *B)
	{
		if(len==1)
		{
			B[0]=qexp(A[0],Mod-2);
			return ;
		}
		Get_Inv((len+1)>>1,A,B);
		int m,cnt;
		for(m=1,cnt=0;m<(len<<1);m<<=1,++cnt);
		REP(i,0,m-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));
		REP(i,0,len-1)tmp[i]=A[i];
		REP(i,len,m-1)tmp[i]=0;
		NTT(tmp,m,1);NTT(B,m,1);
		REP(i,0,m-1)B[i]=(2ll*B[i]%Mod-1ll*B[i]*B[i]%Mod*tmp[i]%Mod+Mod)%Mod;
		NTT(B,m,-1);
		invm=qexp(m,Mod-2);
		REP(i,0,len-1)B[i]=1ll*B[i]*invm%Mod;
		REP(i,len,m-1)B[i]=0;
	}
	inline void Get_Sqr(int len,ll *A,ll *B)
	{
		if(len==1)
		{
			B[0]=1;
			return ;
		}
		Get_Sqr((len+1)>>1,A,B);
		memset(b,0,sizeof(b));Get_Inv(len,B,b);
		int m,cnt;
		for(m=1,cnt=0;m<(len<<1);m<<=1,++cnt);
		REP(i,0,m-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));
		REP(i,0,len-1)tmp[i]=A[i];
		REP(i,len,m-1)tmp[i]=0;
		NTT(B,m,1);NTT(tmp,m,1);NTT(b,m,1);
		REP(i,0,m-1)B[i]=1ll*(tmp[i]+1ll*B[i]*B[i]%Mod)%Mod*b[i]%Mod*inv2%Mod;
		NTT(B,m,-1);
		invm=qexp(m,Mod-2);
		REP(i,0,len-1)B[i]=1ll*B[i]*invm%Mod;
		REP(i,len,m-1)B[i]=0;
	}
	inline void Get_Div(int n1,ll *A,int n2,ll *B,ll *C,ll *D)
	{
		memset(c,0,sizeof(c));
		REP(i,0,n2-1)c[i]=B[n2-1-i];
		Get_Inv(n1-n2+1,c,b);
		int m,cnt;
		for(m=1,cnt=0;m<((n1-n2+1)<<1);m<<=1,++cnt);
		REP(i,0,m-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));
		REP(i,0,n1-n2)tmp[i]=A[n1-1-i];
		REP(i,n1-n2+1,m-1)tmp[i]=0;
		NTT(tmp,m,1);NTT(b,m,1);
		REP(i,0,m-1)tmp[i]=1ll*tmp[i]*b[i]%Mod;
		NTT(tmp,m,-1);
		invm=qexp(m,Mod-2);
		memset(c,0,sizeof(c));
		REP(i,0,n1-n2)C[n1-n2-i]=c[n1-n2-i]=1ll*tmp[i]*invm%Mod;
		for(m=1,cnt=0;m<n1;m<<=1,++cnt);
		REP(i,0,m-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));
		NTT(B,m,1);NTT(c,m,1);
		REP(i,0,m-1)B[i]=1ll*B[i]*c[i]%Mod;
		NTT(B,m,-1);
		invm=qexp(m,Mod-2);
		REP(i,0,n2-2)D[i]=(A[i]-1ll*B[i]*invm%Mod+Mod)%Mod;
	}
	inline void Get_Der(int n,ll *A,ll *B)
	{
		REP(i,0,n-2)B[i]=1ll*A[i+1]*(i+1)%Mod;B[n-1]=0;
	}
	inline void Get_Int(int n,ll *A,ll *B)
	{
		REP(i,1,n-1)B[i]=1ll*A[i-1]*iv[i]%Mod;B[0]=0;
	}
	inline void Get_Ln(int n,ll *A,ll *B)
	{
		memset(b,0,sizeof(b));
		Get_Inv(n,A,b);Get_Der(n,A,c);
		int m,cnt;
		for(m=1,cnt=0;m<(n<<1);m<<=1,++cnt);
		REP(i,0,m-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));
		NTT(b,m,1);NTT(c,m,1);
		REP(i,0,m-1)b[i]=1ll*b[i]*c[i]%Mod;
		NTT(b,m,-1);
		invm=qexp(m,Mod-2);
		REP(i,0,n-1)b[i]=1ll*b[i]*invm%Mod;
		Get_Int(n,b,B);
	}
	inline void Get_Exp(int len,ll *A,ll *B)
	{
		if(len==1)
		{
			B[0]=1;
			return ;
		}
		Get_Exp((len+1)>>1,A,B);Get_Ln(len,B,c);
		int m,cnt;
		for(m=1,cnt=0;m<(len<<1);m<<=1,++cnt);
		REP(i,0,m-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));
		REP(i,0,len-1)tmp[i]=(A[i]-c[i]+(i==0)+Mod)%Mod;
		REP(i,len,m-1)tmp[i]=0;
		NTT(tmp,m,1);NTT(B,m,1);
		REP(i,0,m-1)B[i]=1ll*tmp[i]*B[i]%Mod;
		NTT(B,m,-1);
		invm=qexp(m,Mod-2);
		REP(i,0,len-1)B[i]=1ll*B[i]*invm%Mod;
		REP(i,len,m-1)B[i]=0;
	}
}
int main()
{
	int n,m;read(n);read(m);poly::init(n+1);
	REP(i,1,m)
	{
		int a,b;read(a);read(b);
		if(a<=n)M[a]++;
		if(1ll*(b+1)*a<=n&&b)M[(b+1)*a]--;
	}
	REP(i,1,n)if(M[i])REP(j,1,n/i)OGF[i*j]=((OGF[i*j]+1ll*M[i]*poly::iv[j]%Mod)%Mod+Mod)%Mod;
	poly::Get_Exp(n+1,OGF,ans);
	REP(i,1,n)write(ans[i],'\n');
	return 0;
}