「ZJOI2016」解题报告

我大浙的省选题真是超级神仙……这套已经算是比较可做的了。

「ZJOI2016」旅行者

神仙分治题。

对于一个矩形，每次我们从最长边切开，最短边不会超过 \(\sqrt{n\times m}\)，所以对于每个点跑一遍最短路就行了。

时间复杂度 \(O(n\sqrt{n}\log n+q\sqrt{n})\)

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>

#define id(i,j) (((i)-1)*m+(j))

using namespace std;

const int maxn=20000+10;

const int maxm=100000+10;

const int inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,Q,val[maxn][4],dis[maxn],vis[maxn],ans[maxm];

int nx[4]={0,1,0,-1},ny[4]={1,0,-1,0};

struct node{

	int x,y,dis;

	node(int x=0,int y=0,int dis=0):x(x),y(y),dis(dis){}

};

inline bool operator < (const node &a,const node &b){

	return a.dis>b.dis;

}

struct Query{

	int x1,x2,y1,y2,id;

}q[maxm],q1[maxm],q2[maxm];

inline int read(){

	register int x=0,f=1;char ch=getchar();

	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}

	return (f==1)?x:-x;

}

inline void Dijkstra(int sx,int sy,int lx,int ly,int rx,int ry){

	priority_queue<node> pq;

	for(int i=lx;i<=rx;i++)

		for(int j=ly;j<=ry;j++) dis[id(i,j)]=inf,vis[id(i,j)]=0;

	dis[id(sx,sy)]=0;pq.push(node(sx,sy,0));

	node u;int x,y;

	while(!pq.empty()){

		u=pq.top();pq.pop();

		if(vis[id(u.x,u.y)]) continue;

		vis[id(u.x,u.y)]=1;

		for(int i=0;i<4;i++){

			x=u.x+nx[i];y=u.y+ny[i];

			if(x<lx||x>rx||y<ly||y>ry) continue;

			if(dis[id(x,y)]>dis[id(u.x,u.y)]+val[id(u.x,u.y)][i]){

				dis[id(x,y)]=dis[id(u.x,u.y)]+val[id(u.x,u.y)][i];

				pq.push(node(x,y,dis[id(x,y)]));

			}

		}

	}

}

void solve(int lx,int ly,int rx,int ry,int ql,int qr){

	if(ql>qr) return ;

	if(lx==rx&&ly==ry){

		for(int i=ql;i<=qr;i++) ans[q[i].id]=0;

		return ;

	}

	if(rx-lx>ry-ly){

		int mid=(lx+rx)>>1,cnt1=0,cnt2=0;

		for(int i=ly;i<=ry;i++){

			Dijkstra(mid,i,lx,ly,rx,ry);

			for(int j=ql;j<=qr;j++) ans[q[j].id]=min(ans[q[j].id],dis[id(q[j].x1,q[j].y1)]+dis[id(q[j].x2,q[j].y2)]);

		}

		for(int i=ql;i<=qr;i++){

			if(q[i].x1<=mid&&q[i].x2<=mid) q1[++cnt1]=q[i];

			if(q[i].x1>mid&&q[i].x2>mid) q2[++cnt2]=q[i];

		}

		for(int i=1;i<=cnt1;i++) q[ql+i-1]=q1[i];

		for(int i=1;i<=cnt2;i++) q[ql+cnt1+i-1]=q2[i];

		solve(lx,ly,mid,ry,ql,ql+cnt1-1);

		solve(mid+1,ly,rx,ry,ql+cnt1,ql+cnt1+cnt2-1);

	}

	else {

		int mid=(ly+ry)>>1,cnt1=0,cnt2=0;

		for(int i=lx;i<=rx;i++){

			Dijkstra(i,mid,lx,ly,rx,ry);

			for(int j=ql;j<=qr;j++) ans[q[j].id]=min(ans[q[j].id],dis[id(q[j].x1,q[j].y1)]+dis[id(q[j].x2,q[j].y2)]);

		}

		for(int i=ql;i<=qr;i++){

			if(q[i].y1<=mid&&q[i].y2<=mid) q1[++cnt1]=q[i];

			if(q[i].y1>mid&&q[i].y2>mid) q2[++cnt2]=q[i];

		}

		for(int i=1;i<=cnt1;i++) q[ql+i-1]=q1[i];

		for(int i=1;i<=cnt2;i++) q[ql+cnt1+i-1]=q2[i];

		solve(lx,ly,rx,mid,ql,ql+cnt1-1);

		solve(lx,mid+1,rx,ry,ql+cnt1,ql+cnt1+cnt2-1);

	}

}

int main()

{

	memset(val,inf,sizeof(val));

	memset(ans,inf,sizeof(ans));

	n=read(),m=read();

	for(int i=1;i<=n;i++)

		for(int j=1;j<m;j++) val[id(i,j)][0]=val[id(i,j+1)][2]=read();

	for(int i=1;i<n;i++)

		for(int j=1;j<=m;j++) val[id(i,j)][1]=val[id(i+1,j)][3]=read();

	Q=read();

	for(int i=1;i<=Q;i++) q[i].x1=read(),q[i].y1=read(),q[i].x2=read(),q[i].y2=read(),q[i].id=i;

	solve(1,1,n,m,1,Q);

	for(int i=1;i<=Q;i++) printf("%d\n",ans[i]);

	return 0;

}

「ZJOI2016」小星星

树形 \(dp\) + 容斥原理。

第一次见到对于排列容斥的题，大开眼界。（可能是我太弱）

那么 \(O(n^3)\) 的树形 \(dp\) 还是好打的嘛。

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

int n,m,e[20][20],sta[20],top;

vector<int> G[20];ll dp[20][20],ans;

void treedp(int x,int f){

	vector<int>::iterator it;

	int y;ll now;

	for(it=G[x].begin();it!=G[x].end();it++)

		if(*it!=f) treedp(*it,x);

	for(int i=1;i<=top;i++){

		dp[x][i]=1;

		for(it=G[x].begin();it!=G[x].end();it++){

			y=*it;

			if(y==f) continue;

			now=0;

			for(int j=1;j<=top;j++)

				if(e[sta[i]][sta[j]]) now+=dp[y][j];

			dp[x][i]*=now;

		}

	}

}

inline void solve(){

	treedp(1,0);

	for(int i=1;i<=top;i++){

		if((n-top)&1) ans-=dp[1][i];

		else ans+=dp[1][i];

	}

}

void dfs(int x){

	if(x==n+1){solve();return;}

	sta[++top]=x;dfs(x+1);

	top--;dfs(x+1);

}

int main()

{

	scanf("%d%d",&n,&m);

	int x,y;

	for(int i=1;i<=m;i++){

		scanf("%d%d",&x,&y);

		e[x][y]=e[y][x]=1;

	}

	for(int i=1;i<n;i++){

		scanf("%d%d",&x,&y);

		G[x].push_back(y);

		G[y].push_back(x);

	}

	dfs(1);

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}

「ZJOI2016」线段树

神仙 \(dp\) 系列。

\(f[x][p][l][r]\) 表示经过 \(p\) 轮操作后 \(\text{max}_{i=l}^{r}{a_i}\leq x<\text{min}(a_{l-1},a_{r+1})\) 的方案数。

那么 \(x\) 可以枚举省掉一维，\(p\) 可以滚动数组，那么实际只有两位。我们先看 \(O(n^4)\) 的解法。

\(f[p][l][r]\) 可以由三项转移：

区间左右端点在 \([1,l-1]\) 或 \([l,r]\) 或 \([r+1,n]\)：\(f[p][l][r]=[{l-1\choose 2}+{r-l+1\choose 2}+{n-r\choose 2}]\times f[p-1][l][r]\)

区间右端点在 \(l-1\)：\(f[p][l][r]=\sum_{i=1}^{l-1}(i-1)\times f[p-1][i][r]\)

区间左端点在 \(r+1\)：\(f[p][l][r]=\sum_{i=r+1}^{n}(n-i)\times f[p-1][l][i]\)

现在看 \(O(n^3)\) 的解法。

不容易发现可以把 \(x\) 一起转移，然后就 \(O(n^3)\) 的解法了。

代码是 \(O(n^4)\) 的。

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;

const int maxn=400+10;

const int mod=1e9+7;

int n,m,a[maxn],mp[maxn],cnt[maxn],C[maxn][maxn],sum[maxn][maxn],f[2][maxn][maxn],g[maxn][maxn];

bool is[maxn][maxn];

/*

cnt[i] = i * (i + 1) / 2

f(i, l, r) += f(i - 1, l, r) * (cnt[r - l + 1] + cnt[n - r] + cnt[l - 1]);

f(i, l, r) += \sum _ {u = 1} ^ {l - 1} f(i - 1, u, r) * (u - 1)

f(i, l, r) += \sum _ {v = r + 1} ^ {n} f(i - 1, l, v) * (n - v)

*/

inline void solve(int x,int L,int R){

    memset(f[0],0,sizeof(f[0]));

    for(int i=L;i<=R;i++) is[i][a[x]]=1;

    f[0][L][R]=1;

    int now,lst,val;

    for(int i=1;i<=m;i++){

        now=i&1;lst=i&1^1;

        for(int l=L;l<=R;l++)

            for(int r=l;r<=R;r++) f[now][l][r]=f[lst][l][r]*C[l][r]%mod;

        for(int r=L;r<=R;r++){

            val=0;

            for(int l=L;l<=r;l++){

                (f[now][l][r]+=val)>=mod?f[now][l][r]-=mod:0;

                val=(val+f[lst][l][r]*(l-1))%mod;

            }

        }

        for(int l=L;l<=R;l++){

            val=0;

            for(int r=R;r>=l;r--){

                (f[now][l][r]+=val)>=mod?f[now][l][r]-=mod:0;

                val=(val+f[lst][l][r]*(n-r))%mod;

            }

        }

    }

    //[L, i] [i, R]

    for(int i=L-1;i<=R;i++)

        for(int j=L-1;j<=R;j++) sum[i][j]=0;

    for(int i=L;i<=R;i++)

        for(int j=L;j<=R;j++) sum[i][j]=(sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+f[m&1][i][j])%mod;

    for(int i=L;i<=R;i++) g[i][a[x]]=((g[i][a[x]]+sum[i][R]-sum[L-1][R]-sum[i][i-1]+sum[L-1][i-1])%mod+mod)%mod;

}

signed main()

{

    scanf("%lld%lld",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),mp[i]=a[i];

    sort(mp+1,mp+n+1);

    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(mp+1,mp+n+1,a[i])-mp;

    for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]=1ll*i*(i+1)/2%mod;

    for(int l=1;l<=n;l++)

        for(int r=l;r<=n;r++) C[l][r]=(cnt[l-1]+cnt[n-r]+cnt[r-l+1])%mod;

    int L,R;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        L=i;R=i;

        while(L>1&&a[L-1]<a[i]) L--;

        while(R<n&&a[i]>=a[R+1]) R++;

        solve(i,L,R);

    }

    int tmp,val,ans;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        val=0;

        for(int j=1;j<=n;j++){

            if(!is[i][j]) continue;

            tmp=g[i][j];g[i][j]-=val;

            if(g[i][j]<0) g[i][j]+=mod;

            val=tmp;

        }

    }

    for(int i=1;i<=n;i++){

        ans=0;

        for(int j=1;j<=n;j++) ans=(ans+g[i][j]*mp[j])%mod;

        printf("%lld ",ans);

    }

    printf("\n");

    return 0;

}

「ZJOI2016」大森林

题解戳这里