Counting Bloom Filter

Counting Bloom Filter是 改进型，将记录标准的存在位0和1，扩展为计数器counter。记录有几个元素。插入加一，删除减一。多占几倍存储空间。

标准的Bloom Filter是一种简单的数据结构，只有插入，查询两个操作。不支持删除操作，所以静态集合上可以很好工作。如果集合经常变动，则不能用。

随机数据结构，利用位数组简洁地表示一个集合，并判断一个元素是否属于这个集合。存在错误率，可能把不属于集合的元素误认为属于集合（false positive）。往篮子里捡白鸡蛋，可能捡了几个黄的，但外面的一定是黄鸡蛋。因此，Bloom
Filter不适合那些“零错误”的应用场合。

位数组表示集合：初始状态时，m位数组，取值全0。

为表达S={x₁, x₂,…,x_n}这个n元素集合，Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash
Function），分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映射的位置h_i(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。

查询时，判断元素y是否属于该集合，这对y进行k次hash函数，如果所有h_i(y)的位置上都是1（1≤i≤k），则元素y属于该集合，否则不属于。由于某位可能被其他的冲突的hash函数置1，所以存在错误。也就是不属于的元素，本来hash函数位为0，却被其他冲突的hash函数
置1，查询时为全为1，则判断为属于，而实际上不属于。（hash冲突造成的错误）。

错误率的估计：

假设看k*n<m，且所有hash函数完全随机，集合S={x₁, x₂,…,x_n}全部被k个hash函数映射到m位数组后，某一位还是0的概率为：

其中，1/m表示任一hash函数选中某一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），(1-1/m)表示hash一次没有选中的概率。要把S完全映射到位数组中，需要做k*n次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（1-1/m）的kn次方。令p
= e^-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：

令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive
rate）为：

(1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)^k就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false
positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明^[2]
，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：

相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

Bloom Filter需要多个哈希函数映射到位数组，那选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对非集合元素（不属于集合的元素）进行查询时得到0的概率就大；反之，哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多（置1的少了。0存在就多了）。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用p和f进行计算。注意到f =exp(k ln(1 − e^−kn/m))，我们令g
= k ln(1 − e^−kn/m)，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e^-kn/m，我们可以将g写成

根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于(1/2)^k ≈ (0.6185)^m/n。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p
= 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，k个hash函数作用后，最好能让位数组有一半还空着。k个hash作用后m位数组一般为空，错误率低。

需要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’
= exp(k ln(1 − (1 − 1/m)^kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)^kn)，p’ = (1 − 1/m)^kn，我们可以将g’写成

同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时，g’取得最小值。

位数组的大小

在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为є，下面我们来求位数组的位数m。

假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s
= F(X)中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够є
(u - n)个false positive。因此，对于确定的位数组来说，它能够接受n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示

个集合。这里，X为全集，选择n个元素作为选中集，n/X。全集用s查询X中的元素是否属于选中集合，选中集合为n个元素。而s查到的元素总数为n + є (u - n)个，其中真实的为n个，错误的为є
(u - n)个。

上式表示s这个查询函数所支持的作用范围，也就是所映射集合的元素个数。

而m位数组共有2^m个不同组合，推出，m位的位数组可以表示

个集合。其中，m位的一种取值对应一种n集合的选取，表示一种选择集。全集中n个元素的集合总共有

个，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须有

即：

上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于є的情况下，m至少要等于n
log₂(1/є)才能表示任意n个元素的集合。

我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)^k = (1/2)^{mln2
/ n}。现在令f≤є，可以推出

这个结果比前面我们算得的下界n log₂(1/є)大了log₂ e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False
Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之后，Bloom
Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，Bloom Filter在网络领域获得了新生，各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见，随着网络应用的不断深入，新的变种和应用将会继续出现，Bloom
Filter必将获得更大的发展。

参考资料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network
applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.

[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom
Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.

[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf

[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt