【题目】C. Weakness and Poorness

【题意】给定含n个整数的序列ai,定义新序列为ai-x,要使新序列的最大子段和绝对值最小,求实数x。n<=2*10^5。

【算法】二分||三分||计算几何(凸包)

【题解】Editorial

令正数最大子段和为A,负数最大子段和为B,绝对值是max(A,B)。当x从小到大变化时,A由大变小,B由小变大。

容易发现这是一个下凸函数,可以用三分法求解。

但是,这道题卡精度(-11会WA,-12会T),解决方法是根据复杂度把循环次数卡到极限而不用r-l<=eps的方法,以及缩小一开始的l和r范围防卡。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
int read(){
char c;int s=,t=;
while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
return s*t;
}
int ab(int x){return x>?x:-x;}
//int MO(int x){return x>=MOD?x-MOD:x;}
//void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
/*------------------------------------------------------------*/
const int maxn=;
const double eps=1e-; int n;
double a[maxn],b[maxn]; double F(double x){
for(int i=;i<=n;i++)b[i]=a[i]-x;
double sum=,ans=;
for(int i=;i<=n;i++){
sum+=b[i];
if(sum<)sum=;
ans=max(ans,sum);
}
sum=;
for(int i=;i<=n;i++){
sum+=b[i];
if(sum>)sum=;
ans=max(ans,-sum);
}
return ans;
}
int main(){
n=read();
double m1,m2,l=-,r=;
for(int i=;i<=n;i++)scanf("%lf",&a[i]);
for(int i=;i<=;i++){
m1=l+(r-l)/;m2=l+(r-l)/*;
if(F(m1)<F(m2))r=m2;else l=m1;
}
printf("%.10lf",F(l));
return ;
}

进一步观察,发现答案出现在A=B时,当x偏小时A>B,当x偏大时A<B,那么可以二分求解。

最后的几何解法,将max(si-sj)展开后化为以x为自变量,y为绝对值的一些直线,然后求上下凸包。

 

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