P1831 杠杆数
P1831 杠杆数
题目描述
如果把一个数的某一位当成支点,且左边的数字到这个点的力矩和等于右边的数字到这个点的力矩和,那么这个数就可以被叫成杠杆数。
比如4139就是杠杆数,把3当成支点,我们有这样的等式:4 2 + 1 1 = 9 * 1。
给定区间[x,y],求出在[x,y]中有几个杠杆数。
输入输出格式
输入格式:
两个数,表示x,y。
输出格式:
一个输出,表示区间[x,y]中杠杆数的个数。
输入输出样例
说明
对于40%的数据,x<=y<=x+100000
对于100%的数据,1<=x<=y<=10^18
洛谷题解:
此题是数位DP,没学过数位DP的,这可以是一道很经典的入门题目
1. 本题是一道数位DP,首先我们可以只考虑设计算法求[1,x]这个区间内符合条件的数的个数即可。因为[x,y]这个区间内的个数实际上是[1,y]区间内的个数减去[1,x-1]区间内的个数。(注意要把0特殊出来考虑)
2.之后我们可以枚举支点的位置,对于每个满足条件的数,它所对应的支点是唯一的,原因是如果将支点右移,左边减去右边的差将严格单调增加。state表示力矩和(支点左边加支点右边),所以当state<0时,当前这个数不满足以i为支点成为杠杆数的情况,返回0。但当state==0时并不能就ans++了,因为当前枚举的位置可能还没枚举完。
3.枚举好支点,问题就转化为:求[1,x]中,以第i位为支点的杠杆数的个数。
==》 我们就可以用数位DP解决此问题。
注意:注意当力矩为负时,就要返回,否则会出现下标为负。
(数位DP可以从后往前推,也可以用记忆化搜索。我比较喜欢记忆化搜索,比较有套路。)
枚举的时候是通过数字减位来实现的
枚举的时候是枚举每个数字的每一个支点
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=;
int a[N];//储存每一位的大小
LL dp[N][N][],l,r;//dp[i][j][k]表示考虑i位数字,支点为j,力矩和为k
LL dfs(int pos,int point,int state,bool limit)//pos是几位数字;ponit是支点;state是力矩;limit表示当前这一位有无大小限制,防止枚举超过上限
{
if(pos==)return state==;//判断是否合法
if(state<)return ;//当前力矩为负
if(!limit&&dp[pos][point][state]!=-)return dp[pos][point][state];
int up=limit?a[pos]:;//数位上限
LL tmp=;
for(int i=;i<=up;i++)tmp+=dfs(pos-,point,state+i*(pos-point),limit&&(i==up));
if(!limit)dp[pos][point][state]=tmp;
return tmp;
}
LL solve(LL x)
{
int len=;
while(x)
{
a[++len]=x%;
x/=;
}
LL ans=;
for(int i=;i<=len;i++)ans+=dfs(len,i,,);
return ans-len+;//每次dfs都会重复搜索到00000……的情况这里减去重复数
}
int main()
{
scanf("%lld %lld",&l,&r);
memset(dp,-,sizeof(dp));
printf("%lld",solve(r)-solve(l-));
return ;
}
本题是一道数位统计题,首先我们可以只考虑设计算法求[1,x]这个区间内符合条件的数的个数即可。因为[x,y]这个区间内的个数实际上是[1,y]区间内的个数减去[1,x-1]区间内的个数。(注意要把0特殊出来考虑)
之后我们可以枚举支点的位置,对于每个满足条件的数,它所对应的支点是唯一的,原因是如果将支点右移,左边减去右边的差将严格单调增加。
枚举好支点,问题就转化为:求[1,x]中,以第k位为杠杆的杠杆数的个数。
我们就可以用DP解决此问题。用f[i][j][k]表示考虑到第i位,左边权值减右边权值差为j的情况个数。
k=0或k=1,分别表示枚举到当前位数时,数比x小或等于x。分情况讨论累加。
DP可以从后往前推,也可以用记忆化搜索。
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