CF 398 E（动态规划）

传送门：

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http://codeforces.com/problemset/problem/398/E

题解：

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首先答案不超过2。

最长环=1时，ans=0

最长环=2时，ans=1

否则，ans=2

考虑有长度大于2的环时如何两步出解。

那么第一步肯定是把大环拆成若干长度不超过2的环。

不妨确定一个x，设它指向y，指向它的是z，那么肯定将y、z交换，这样x、y在一个环里，然后剩下一个len-2的环，不过因为z不能再动了，所以对这个环的拆分就唯一了，一直下去可以把环拆开，并且只考虑这个环的方案数是len。

有多个环时，这些环的选择时可以相交的。

现在有两个环，

一定有一步交换位于不同环上的两个点，如果依然想拆成若干长度不超过2的环，那么剩下的交换也是唯一的。

由于对称问题，也只有len种。

显然两个环的时候必须长度相等才有解。

然后我并不会证更多环没有解。

然后就可以设个\(f[i][j]\)表示长度为i的有j个环的方案数

\(f[i][j]=f[i][j-1]*i+f[i][j-2]*(j-1)*i\)，复杂度是调和级数

那么接下来\(O(k!)\)暴力的话也TLE了。

考虑确定每个点就是把若干条链拼起来，那么就只用集合划分了。

Code：

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#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;
const int mo = 1e9 + 7;
ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}
const int N = 1e6 + 5;
int n, k, a[N], r[N], q[N];
ll fac[15];
vector<ll> f[N], nf[N];
int b[N], b0, cnt[N];
int c[N], c0, d[N];
ll ans, sum, s2;
void dg(int x) {
	if(x > b0) {
		ll s = sum, s3 = s2;
		fo(i, 1, c0) {
			s3 += c[i] > 2;
			s = s * nf[c[i]][cnt[c[i]]] % mo;
			cnt[c[i]] ++;
			s = s * f[c[i]][cnt[c[i]]] % mo;
		}
		ll xs = 1;
		fo(i, 1, c0) xs = xs * fac[d[i] - 1] % mo;
		ans = (ans + (s3 ? s : 1) * xs) % mo;
		fo(i, 1, c0) cnt[c[i]] --;
		return;
	}
	fo(i, 1, c0) {
		c[i] += b[x];
		d[i] ++;
		dg(x + 1);
		d[i] --;
		c[i] -= b[x];
	}
	c[++ c0] = b[x]; d[c0] = 1;
	dg(x + 1);
	d[c0] = 0; c0 --;
}
int main() {
	freopen("determination.in", "r", stdin);
	freopen("determination.out", "w", stdout);
	fac[0] = 1; fo(i, 1, 15) fac[i] = fac[i - 1] * i % mo;
	scanf("%d %d", &n, &k);
	fo(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]), r[a[i]] ++;
	fo(i, 1, n) {
		f[i].resize(n / i + 1);
		nf[i].resize(n / i + 1);
		f[i][0] = 1;
		fo(j, 1, n / i) {
			f[i][j] = f[i][j - 1];
			if(j >= 2) f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j - 2] * (j - 1)) % mo;
			f[i][j] = f[i][j] * i % mo;
		}
		ll s = 1;
		fo(j, 1, n / i) s = s * f[i][j] % mo;
		s = ksm(s, mo - 2);
		fd(j, n / i, 0) nf[i][j] = s, s = s * f[i][j] % mo;
		s = 1;
		fo(j, 1, n / i) {
			nf[i][j] = nf[i][j] * s % mo;
			s = s * f[i][j] % mo;
		}
	}
	fo(i, 1, n) if(!r[i]) {
		int x = i; q[x] = 1;
		b[++ b0] = 0;
		do {
			b[b0] ++;
			x = a[x];
			q[x] = 1;
		} while(x != 0);
	}
	fo(i, 1, n) if(!q[i]) {
		int x = i, len = 0;
		do {
			len ++;
			x = a[x];
			q[x] = 1;
		} while(x != i);
		cnt[len] ++;
	}
	sum = 1;
	fo(i, 1, n) sum = sum * f[i][cnt[i]] % mo, s2 += cnt[i] * (i > 2);
	dg(1);
	pp("%lld", ans);
}