【做题笔记】P2871 [USACO07DEC]手链Charm Bracelet

就是 01 背包。大意：给您 \(T\) 个空间大小的限制，有 \(M\) 个物品，第 \(i\) 件物品的重量为 \(c_i\) ，价值为 \(w_i\) 。要求挑选一些物品，使得总空间不超过 \(T\) ，且总价值最大。

考虑设 \(f_{i,j}\) 为 \(1\) ~ \(i\) 件物品，背包容量为 \(j\) 时的最大价值，那么假如不选第 \(i\) 件物品,则为 \(f_{i-1,j}\) 的子问题（背包内只有 \(i-1\) 个物品）；若选，则为 \(f_{i-1,j-w_i}+v_i\) 的子问题。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int f[1001][1001],T,M,w[100001],v[100001];
int main()
{
	cin>>T>>M;
	for(int i=1;i<=M;i++)cin>>w[i]>>v[i];
	for(int i=1;i<=M;i++)
		for(int j=0;j<=T;j++)
			if(j<w[i])f[i][j]=f[i-1][j];
			else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
	cout<<f[M][T]<<endl;
	return 0;
}

注意到这种做法本题会被卡。可以优化成一维，但过程很难想。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int f[1000001],T,M,w[1000001],v[1000001];
int main()
{
	cin>>M>>T;
	for(int i=1;i<=M;i++)cin>>w[i]>>v[i];
	for(int i=1;i<=M;i++)
		for(int j=T;j>=w[i];--j)
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
	cout<<f[T]<<endl;
	return 0;
}