HNOI2019 题解

题目排序不是我做题的顺序也不是试题顺序。

多边形

首先要知道终止态是所有边都指向了 \(n\) 号节点。
那么我们如果每一步都让 \(n\) 的度数 +1 那一定是最优的，显然可以办到。
那么可以从与 \(n\) 相邻的边分割出若干个独立的部分求解。
对于一个部分，每次我们一定是选一个最高的边进行 \(\text{rotate}\)，然后分成两个独立的部分。

对于一个 \(\text{rotate}(a,c)\)，二分找到 \(\lt c\) 的最大的与 \(a\) 有边的就是 \(b\)。

注意到这个形成一个二叉树结构。
根据森林的拓扑序计数 \(res={n!\over \prod size_i}\) 答案只跟树上节点的 \(size_i\) 有关，可以直接计算。
考虑 \(\text{rotate}\) 一次的影响，根据下图：

只有 \(x\) 这个点的 \(size\) 变化，更新一下即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\) 或者 \(O(n)\)。

白兔之舞

首先知道两个数组循环卷积相当于 DFT 以后点值相乘再 IDFT 回去。
\[
c_i=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1} a_jb_k[j+k=i\mod n]\\
={1\over n}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1} a_jb_k\sum_{d=0}^{n-1}w^{d(j+k-i)}\\
={1\over n}\sum_{d=0}^{n-1}w^{-di}A(w^d)B(w^d)
\]
考虑算一个数组的 DFT
\[
f_i=A(w^i)=\sum_{j=0}^{n-1}a_jw^{ij}\\
=\sum_{j=0}^{n-1}a_jw^{{i+j\choose 2}-{i\choose 2}-{j\choose 2}}
\]
mtt 即可。
考虑算一个数组的 IDFT，reverse 处理即可。

鱼

鱼身和鱼尾是两个独立的部分，分开做并且预处理出来。

考虑对于 \(AD\) 统计 \(BC\), 可以先枚举所有 \(BC\) 把它挂在 \(BC\) 的垂直平分线上，然后在线段 \(AD\) 处在直线 \(AD\) 所对应的 \(\text{vector}\) 里面二分这个区间。
垂直平分线的条件是充要的，为了方便用斜截式 \(y=kx+b\) 来表示直线，二元组 \((k,b)\) 均为化简的分数（此题严重卡精度、卡 int64 溢出）。
对于 \(y_p \neq y_q\) 的点对，垂直平分线斜率存在，把中点横坐标插入 vector 中；
对于 \(y_p = y_q\) 的点对，垂直平分线斜率不存在，用唯一确定的横坐标 \(x_p+x_q\over 2\) 表示这一类直线，把中点纵坐标插入 vector 中。

考虑对于 \(AD\) 统计 \(EF\)，考虑先枚举 \(D\) 再枚举 \(A\) 的话，然后所有点关于 \(D\) 点极角排序，\(\angle ADQ \in (0.5\pi, 1.5\pi)\) 的 \(Q\) 可以作为 \(E/F\) 点。
双指针扫描，类似莫队一样维护以 \(dist(D,Q)\) 为下标的 map 即可算出点对个数。

话说这个要取中点于是一开始坐标统一 \(\times 2\)，然后极限的 \(dist=(4\times 10^9)^2+(4\times 10^9)^2\) 爆了 unsigned long long。。。

枚举 \(A\)、\(D\) 把 \(BC\) 方案跟 \(EF\) 方案乘起来即可，因为有序的，最后还要乘 \(4\)。
时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)。

序列

直接二次函数可以证明一个连续段如果用同一个 \(b_k\) 那一定是取平均数。
\(50pts\) 做法看了就会了而且是我校 tgz 模拟赛。
考虑单调栈弹栈的过程，对于一个前缀，已经插进去的左端点过会还可能没了，但已经没了的左端点再也不会出现。
后缀也是同理，考虑一个 \(i\) 维护 \(i-1\) 的前缀单调栈和 \(i+1\) 的后缀单调栈，最终答案一定是取若干个完整的前缀栈栈顶 + \(i\) + 若干个完整的后缀栈栈顶拼接成中间一个连续段，然后两个栈内剩下来的不动，作为最终的答案序列。

定义 \(push\) 操作为把 \(i\) 或者 \([l,r]\) 插入到前缀栈中，然后调整到这个栈单调的操作。

一个暴力做法是我们 \(push(i)\)，然后判断左边栈顶是不是 \(\le\) 右边栈顶，否则我们尝试把右栈栈顶整个区间 \(push\) 了，弹掉，当第一次满足条件的时候停止，大致如下图。这个做法是对的，因为这个是单调的，往右做一次的话左栈顶应该减小了而右栈顶变大了。

直接按上面那么做，复杂度 \(O(n^2)\)，实际得 \(100\) 分。
因为有单调性我们可以二分这个右端点（只能是栈中元素的右端点），把这段区间一起 \(push\) 了，找最靠左的 \(mid\) 即可。
复杂度 \(O(n\log^2n)\) 实际得 \(100\) 分。
还有那个后缀栈的问题，我们可以先从 \(n\) 往 \(1\) 做出来这个栈，然后再逐位撤销操作。（询问离线下来）
可持久化线段树也可以。

校园旅行

首先 \(30pts\) 的暴力 bfs 必须会，就是往队列里面插入单个点以及相邻的同色点，每次向两头扩展相同的颜色，更新答案。
时间复杂度 \(O(m^2)\)。

\(\sum_{u,v} \text{degree}_u\times \text{degree}_v = O(m^2)\)

考虑缩图，定义0->0为黑边,1->1为白边,0->1/1->0为桥边。
那么一条回文路径可以表示为
黑边<-桥边<-白边<- ... o ... ->白边->桥边->黑边

现在约定：走黑白边必须一次性走 1e9 / 1e9 + 1 条，桥边必须一次性走 1e9 + 1 条。
那么与原问题等价。

考虑一个黑连通块，若 u->v 只能走出一种奇偶性，那么仅保留一条路径也无妨。
否则我们还要保证 u->v 能走出两种奇偶性。

对于第一种情况，缩出一棵树即可；第二种我们造一个自环。

考虑桥边，环是没有意义的，黑色 \(P\) 点可以到达白色 \(Q\) 点则一定能走出长度为 1e9 + 1 的路径。
直接删去这样的环边即可。

JOJO

这个题太难了，写了一天，要写的内容好多，先鸽了。