组合数的计算以及组合数对p取余后结果的计算

前奏：统计 n! 中的所有质因子中pi的个数

普通方法：复杂度O(nlogn)， 当n为10的18次方无法承受

// 复杂度O(nlogn)， n为10的18次方无法承受
int cal(int n, int p){
    int ans = ;
    for (int i = ; i <= n; i++){
        int temp = i;
        while (temp % p == ){
            ans++;
            temp /= p;            // temp除以p
        }
    }
    return ans;
}

改进后的方法：复杂度只有O(logn)

int cal(int n, int p){
    int ans = ;
    while (n){
        ans += n / p;        // 累加 n / p^k
        n /= p;                // 相当于分母多乘一个 p
    }
    return ans;
}

1. 组合数的计算（如果只需计算一个组合数则用法三，如果计算很多个组合数则用法二）

法一：通过定义计算

long long C(long long n, long long m){
    long long ans = ;
    for (long long i = ; i <= n; i++){
        ans *= i;
    }
    for (long long i = ; i <= m; i++){
        ans /= i;
    }
    for (long long i = ; i <= n - m; i++){
        ans /= i;
    }
    return ans;
}

法二：通过递推式计算

int res[][];            // 用于存放组合数的值
// 法二：通过递推式计算
long long C(long long n, long long m){
    if (n ==  || m == n)
        return ;
    if (res[n][m] != )
        return res[n][m];
    return res[n][m] = C(n - , m) + C(n - , m - );    // 赋值给res[n][m]并返回
}

把所有组合数都计算出来

// 把所有组合数都计算出来
const int n = ;
void calC(){
    for (int i = ; i <= n; i++){
        res[i][] = res[i][i] = ;        // 初始化边界
    }
    for (int i = ; i <= n; i++){
        for (int j = ; j <= i / ; j++){
            res[i][j] = res[i - ][j] + res[i - ][j - ];    // 递推计算C(i, j)
            res[i][i - j] = res[i][j];        // C(i, i - j) = C(i, j)
        }
    }
}

法三：定义变形，复杂度O(m)(推荐）

long long C(long long n, long long m){
    long long ans = ;
    for (int i = ; i <= m; i++){
        ans = ans * (n - m + i) / i;        // 注意一定要先乘再除
    }
}

2. 计算C(n, m) % p

递归

// 递归
int res[][] = {  };
int C(int n, int m, int p){
    if (m ==  || m == n) return ;
    if (res[n][m] != )
        return res[n][m];        // 已经有值
    return res[n][m] = (C(n - , m, p) + C(n - , m - , p)) % p;    // 赋值后返回
}

非递归

void CalC(int n, int p){
    for (int i = ; i <= n; i++){
        res[i][] = res[i][i] = ;        // 初始化边界
    }
    for (int i = ; i <= n; i++){
        for (int j = ; j <= i; j++){
            res[i][j] = (res[i - ][j] + res[i - ][j - ]) % p;
            res[i][i - j] = res[i][j];
        }
    }
}