算法笔记

参考资料：https://wenku.baidu.com/view/25540742a8956bec0975e3a8.html

sg函数大神详解：http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495

sg[i]定义，从i走一步能到达的j的sg[j]以外的最小值，那么从sg函数值为x的状态出发，我们能转移到sg值为0,1,...,x-1的状态

对于某个人来说，0是他的必败态，sg[0] = 0

我们从这个状态出发，用dp求sg函数的值

sg[n] = 0，表示必败，否则， 表示必胜

如果sg[n] > 0，说明肯定能转移到必败态，则必胜

如果sg[n] = 0, 说明无论怎么转移都是必胜态，则必败

模板：

  1. int f[N],SG[N];
  2. bool S[M];
  3. void getSG(int n)
  4. {
  5.     memset(SG,,sizeof(SG));
  6.     for(int i=;i<=n;i++)
  7.     {
  8.         memset(S,false,sizeof(S));
  9.         for(int j=;f[j]<=i&&j<M;j++)
  10.         {
  11.              S[SG[i-f[j]]]=true;
  12.         }
  13.         while(S[SG[i]]) SG[i]++;
  14.     }
  15. }

例题：http://www.cnblogs.com/widsom/p/7171428.html

　　　http://www.cnblogs.com/widsom/p/7170891.html

sg函数拓展：

反sg博弈：

先手必胜：（所有单一局面sg值都不超过1&&总局面sg值为0） || （存在一个单一局面sg值超过1&&总局面sg值不为0）

否则后手必胜。

HDU 1907

代码：

  1. #pragma GCC optimize(2)
  2. #pragma GCC optimize(3)
  3. #pragma GCC optimize(4)
  4. #include<bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  6. #define y1 y11
  7. #define fi first
  8. #define se second
  9. #define pi acos(-1.0)
  10. #define LL long long
  11. //#define mp make_pair
  12. #define pb push_back
  13. #define ls rt<<1, l, m
  14. #define rs rt<<1|1, m+1, r
  15. #define ULL unsigned LL
  16. #define pll pair<LL, LL>
  17. #define pli pair<LL, int>
  18. #define pii pair<int, int>
  19. #define piii pair<pii, int>
  20. #define pdd pair<double, double>
  21. #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
  22. #define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
  23.  
  24. const int N = , M = 5e3 + ;
  25. int a[N], sg[M], T, n;
  26. int main() {
  27.     for (int i = ; i < M; ++i) sg[i] = i;
  28.     scanf("%d", &T);
  29.     while(T--) {
  30.         scanf("%d", &n);
  31.         for (int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
  32.         int cnt = , s = ;
  33.         for (int i = ; i <= n; ++i) {
  34.                 if(sg[a[i]] > ) ++cnt;
  35.                 s ^= sg[a[i]];
  36.         }
  37.         if((!cnt && !s) || (cnt && s)) printf("John\n");
  38.         else printf("Brother\n");
  39.     }
  40.     return ;
  41. }

树上删边博弈：

定理：叶子节点的sg值为0，其他节点u的sg[u]值等于它儿子v的(sg[v]+1)的亦或和。

图上删边博弈：

将偶环缩成点，奇环缩成一个点加一条边，就可以转换成树上删边博弈了。

具体证明看最上面的链接。

HDU 3094

思路：树上删边博弈

代码：

  1. #pragma GCC optimize(2)
  2. #pragma GCC optimize(3)
  3. #pragma GCC optimize(4)
  4. #include<bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  6. #define y1 y11
  7. #define fi first
  8. #define se second
  9. #define pi acos(-1.0)
  10. #define LL long long
  11. //#define mp make_pair
  12. #define pb push_back
  13. #define ls rt<<1, l, m
  14. #define rs rt<<1|1, m+1, r
  15. #define ULL unsigned LL
  16. #define pll pair<LL, LL>
  17. #define pli pair<LL, int>
  18. #define pii pair<int, int>
  19. #define piii pair<pii, int>
  20. #define pdd pair<double, double>
  21. #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
  22. #define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
  23.  
  24. const int N = 1e5 + ;
  25. vector<int> g[N];
  26. int T, n, u, v;
  27. int sg(int u, int o) {
  28.     int res = ;
  29.     for (int i = ; i < g[u].size(); ++i) {
  30.         int v = g[u][i];
  31.         if(v != o) res ^= sg(v, u) + ;
  32.     }
  33.     return res;
  34. }
  35. int main() {
  36.     scanf("%d", &T);
  37.     while(T--) {
  38.         scanf("%d", &n);
  39.         for (int i = ; i < n; ++i) scanf("%d %d", &u, &v), g[u].pb(v), g[v].pb(u);
  40.         if(sg(, )) printf("Alice\n");
  41.         else printf("Bob\n");
  42.         for (int i = ; i <= n; ++i) g[i].clear();
  43.     }
  44.     return ;
  45. }

POJ 3710

思路：tarjan缩边双转换成树上删边博弈

代码：

  1. #pragma GCC optimize(2)
  2. #pragma GCC optimize(3)
  3. #pragma GCC optimize(4)
  4. #include<cstdio>
  5. #include<iostream>
  6. #include<cstring>
  7. #include<vector>
  8. using namespace std;
  9. #define y1 y11
  10. #define fi first
  11. #define se second
  12. #define pi acos(-1.0)
  13. #define LL long long
  14. //#define mp make_pair
  15. #define pb push_back
  16. #define ls rt<<1, l, m
  17. #define rs rt<<1|1, m+1, r
  18. #define ULL unsigned LL
  19. #define pll pair<LL, LL>
  20. #define pli pair<LL, int>
  21. #define pii pair<int, int>
  22. #define piii pair<pii, int>
  23. #define pdd pair<double, double>
  24. #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
  25. #define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
  26.  
  27. const int N = ;
  28. vector<int> g[N];
  29. int t, n, m, u, v;
  30. int stk[N], sg[N], low[N], dfn[N], cnt = , top = ;
  31. bool vis[N], vv[N];//vv标记环上的点是否被删掉
  32. void tarjan(int u, int o) {
  33.     dfn[u] = low[u] = ++cnt;
  34.     stk[++top] = u;
  35.     vv[u] = vis[u] = true;
  36.     for (int i = ; i < g[u].size(); ++i) {
  37.         int v = g[u][i];
  38.         if(v == o) continue;
  39.         if(!dfn[v]) tarjan(v, u), low[u] = min(low[u], low[v]);
  40.         else if(vis[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
  41.     }
  42.     if(low[u] == dfn[u]) {
  43.         int c = ;
  44.         while(stk[top] != u) {
  45.             vv[stk[top]] = false;
  46.             vis[stk[top--]] = false;
  47.             ++c;
  48.         }
  49.         vis[stk[top--]] = false;
  50.         ++c;
  51.         if(c >  && c%) sg[u] ^= ;
  52.     }
  53.     for (int i = ; i < g[u].size(); ++i) {
  54.         int v = g[u][i];
  55.         if(v == o) continue;
  56.         if(vv[v]) sg[u] ^= sg[v]+;
  57.     }
  58. }
  59. int main() {
  60.     while(~scanf("%d", &t)) {
  61.         int s = ;
  62.         while(t--) {
  63.             scanf("%d %d", &n, &m);
  64.             for (int i = ; i < m; ++i) {
  65.                 scanf("%d %d", &u, &v);
  66.                 g[u].pb(v);
  67.                 g[v].pb(u);
  68.             }
  69.             tarjan(, );
  70.             s ^= sg[];
  71.             for (int i = ; i <= n; ++i) low[i] = dfn[i] = sg[i] = vis[i] = vv[i] = ;
  72.             cnt = top = ;
  73.             for (int i = ; i <= n; ++i) g[i].clear();
  74.         }
  75.         if(s) printf("Sally\n");
  76.         else printf("Harry\n");
  77.     }
  78.     return ;
  79. }

HDU 5299

思路：

圆扫描线+树上删边博弈

代码：

  1. #pragma GCC optimize(2)
  2. #pragma GCC optimize(3)
  3. #pragma GCC optimize(4)
  4. #include<bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  6. #define y1 y11
  7. #define fi first
  8. #define se second
  9. #define pi acos(-1.0)
  10. #define LL long long
  11. //#define mp make_pair
  12. #define pb push_back
  13. #define ls rt<<1, l, m
  14. #define rs rt<<1|1, m+1, r
  15. #define ULL unsigned LL
  16. #define pll pair<LL, LL>
  17. #define pli pair<LL, int>
  18. #define pii pair<int, int>
  19. #define piii pair<pii, int>
  20. #define pdd pair<double, double>
  21. #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
  22. #define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
  23.  
  24. const int N = 2e4 + ;
  25. int nowx;
  26. struct circle {
  27.     int x, y, r;
  28. }p[N];
  29. double Y(int id, int ty) {
  30.     if(ty == ) return p[id].y - sqrt(p[id].r*1.0*p[id].r - (nowx-p[id].x)*1.0*(nowx-p[id].x));
  31.     else return p[id].y + sqrt(p[id].r*1.0*p[id].r - (nowx-p[id].x)*1.0*(nowx-p[id].x));
  32. }
  33. struct node {
  34.     int id, ty;
  35.     bool operator < (const node &rhs) const {
  36.         if(id == rhs.id) return ty < rhs.ty;
  37.         else return Y(id, ty) < Y(rhs.id, rhs.ty);
  38.     }
  39. };
  40. set<node> s;
  41. vector<int> g[N];
  42. int T, n, dp[N], fa[N], sg[N];
  43. piii t[N*];
  44. void dfs(int u, int o) {
  45.     sg[u] = ;
  46.     for (int i = ; i < g[u].size(); ++i) {
  47.         int v = g[u][i];
  48.         if(v != o) {
  49.             dfs(v, u);
  50.             sg[u] ^= sg[v] + ;
  51.         }
  52.     }
  53. }
  54. int main() {
  55.     p[].x = p[].y = ;
  56.     p[].r = ;
  57.     s.insert({, });
  58.     s.insert({, });
  59.     scanf("%d", &T);
  60.     while(T--) {
  61.         scanf("%d", &n);
  62.         for (int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d %d %d", &p[i].x, &p[i].y, &p[i].r);
  63.         for (int i = ; i <= n; ++i) {
  64.             t[i].fi.fi = p[i].x - p[i].r;
  65.             t[i].fi.se = ;
  66.             t[i].se = i;
  67.             t[n+i].fi.fi = p[i].x + p[i].r;
  68.             t[n+i].fi.se = ;
  69.             t[n+i].se = i;
  70.         }
  71.         sort(t+, t++*n);
  72.         for (int i = ; i <= *n; ++i) {
  73.             nowx = t[i].fi.fi;
  74.             int id = t[i].se;
  75.             node tmp = {id, };
  76.             if(t[i].fi.se == ) {
  77.                 auto l = s.lower_bound(tmp); --l;
  78.                 auto r = s.upper_bound(tmp);
  79.                 if((*l).id == (*r).id) {
  80.                     dp[id] = dp[(*l).id] + ;
  81.                     fa[id] = (*l).id;
  82.                 }
  83.                 else if(dp[(*l).id] >= dp[(*r).id]) {
  84.                     dp[id] = dp[(*l).id];
  85.                     fa[id] = fa[(*l).id];
  86.                 }
  87.                 else {
  88.                     dp[id] = dp[(*r).id];
  89.                     fa[id] = fa[(*r).id];
  90.  
  91.                 }
  92.                 g[fa[id]].pb(id);
  93.                 s.insert({id, });
  94.                 s.insert({id, });
  95.             }
  96.             else {
  97.                 s.erase({id, });
  98.                 s.erase({id, });
  99.             }
  100.         }
  101.         dfs(, );
  102.         if(sg[]) printf("Alice\n");
  103.         else printf("Bob\n");
  104.         for (int i = ; i <= n; ++i) g[i].clear(), sg[i] = fa[i] = dp[i] = ;
  105.     }
  106.     return ;
  107. }

HDU 3590

思路：

出题人真是个机灵鬼，将反-sg和树上删边结合起来，大概是看了论文后才出的题（雾

代码：

  1. #pragma GCC optimize(2)
  2. #pragma GCC optimize(3)
  3. #pragma GCC optimize(4)
  4. #include<bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  6. #define y1 y11
  7. #define fi first
  8. #define se second
  9. #define pi acos(-1.0)
  10. #define LL long long
  11. //#define mp make_pair
  12. #define pb push_back
  13. #define ls rt<<1, l, m
  14. #define rs rt<<1|1, m+1, r
  15. #define ULL unsigned LL
  16. #define pll pair<LL, LL>
  17. #define pli pair<LL, int>
  18. #define pii pair<int, int>
  19. #define piii pair<pii, int>
  20. #define pdd pair<double, double>
  21. #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
  22. #define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
  23.  
  24. const int N = ;
  25. vector<int> g[N];
  26. int t, n, u, v;
  27. int dfs(int u, int o) {
  28.     int sg = ;
  29.     for (int i = ; i < g[u].size(); ++i) {
  30.         int v = g[u][i];
  31.         if(v != o) sg ^= dfs(v, u) + ;
  32.     }
  33.     return sg;
  34. }
  35. int main() {
  36.     while(~scanf("%d", &t)) {
  37.         int cnt = , s = ;
  38.         while(t--) {
  39.             scanf("%d", &n);
  40.             for (int i = ; i < n; ++i) scanf("%d %d", &u, &v), g[u].pb(v), g[v].pb(u);
  41.             int sg = dfs(, );
  42.             s ^= sg;
  43.             if(sg > ) ++cnt;
  44.             for (int i = ; i <= n; ++i) g[i].clear();
  45.         }
  46.         if((cnt && s) || (!cnt && !s)) printf("PP\n");
  47.         else printf("QQ\n");
  48.     }
  49.     return ;
  50. }

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