动态规划:区间DP与环形DP
区间型动态规划的典型例题是石子归并,同时使用记忆化搜索实现区间动归是一种比较容易实现的方式,避免了循环数组实现的时候一些边界的判断
n堆石子排列成一条线,我们可以将相邻的两堆石子进行合并,合并之后需要消耗的代价为这两堆石子的质量之和,问最小的合并代价
状态转移方程很容易给出:
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+][j]+sum[i][j])
因为要计算区间和,考虑前缀和进行预处理
然后我们给出用记忆化搜索形式实现的代码,这里的记忆化搜索形式可以作为后续问题的一个模板
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=;
int n;
int w[maxn];
int g[maxn]; //前缀和
int f[maxn][maxn];
int dfs(int l,int r)
{
if(l==r) return ;
if(f[l][r]!=INF)
return f[l][r];
int tmp=INF;
for(int i=l;i<r;i++)
tmp=min(tmp,dfs(l,i)+dfs(i+,r)+g[r]-g[l-]);
if(tmp<f[l][r])
f[l][r]=tmp;
return f[l][r];
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=;i<=n;i++)
{
cin>>w[i];
g[i]=g[i-]+w[i];
}
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
f[i][j]=0x3f3f3f3f;
cout<<dfs(,n)<<endl;
return ;
}
这个问题还是比较显然的,我们考虑另一个问题,那就是环形动态规划
其实环形动态规划也是区间型,只不过区间首尾相接
此时使用记忆化搜索实现,其实是不容易的
典型例题是能量项链
先给出状态转移方程:
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]+a[i]*a[j]*a[k])
由于每一种区间问题的价值计算方式不一样,可能采用不同的优化形式,本题直接计算即可
然后我们给出使用循环数组方式实现的一个固定的格式,所有的区间型动态规划都可以采取这样的形式来实现
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=;
int n;
int a[maxn];
long long ans=;
int f[maxn][maxn];
void dp()
{
for(int l=;l<=n;l++) //区间长度
for(int i=;i<=n*-l+;i++) //区间起点
{
int j=i+l; //区间终点
for(int k=i+;k<=j-;k++) //区间中任意点
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]+a[i]*a[j]*a[k]);
}
for(int i=;i<=n;i++)
if(ans<f[i][i+n])
ans=f[i][i+n];
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
a[n+i]=a[i];
}
dp();
cout<<ans;
return ;
}
分别枚举区间的长度,区间的起点和区间中的任意点就好了
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