DP问题如何确定状态

DP问题如何确定状态

一、dp实质

动态规划的实质就是通过小规模的同类型的问题来解决题目的问题。

所以有一个dp数组来储存所有小规模问题的解。

所以确定状态也就是缩小问题规模。

我们求解问题的一般规律就是：实例化，缩小化。

二、dp确定状态方法

1、明确题目中的问题

2、找出限制因子

3、缩小规模

4、根据前三个写出状态

三、实例

1、合并石子

题目大意：n堆石子，每次合并相邻的两堆，每次合并两堆的和作为代价，求将n堆石子合并成一堆的最小代价。

求解状态：

因为每次合并石子都是两堆，虽然它们是相邻的，合并的话可以向左也可以向右，所以用一维还是无法确定怎么合并。显然这里我们需要两维。

所以这里我们可以用i，j两个变量分别表示两个要合并的石子堆。

1）、明确题目中的问题

因为显然状态两维，我们用两维来描述题中问题：求将第1堆石子到第n堆石子合并成一堆的最小代价。

2）、找出限制因子

显然这个1和n就是限制因子

3）、缩小规模

现在将问题缩小规模（也就是将限制因子缩小规模）：求将第i堆石子到第j堆石子合并成一堆的最小代价。（1<=i<=j<=n）

4）、综合

所以得到状态就是：f[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子合并成一堆的最小代价。（1<=i<=j<=n）

5）、其它

如果这个状态不好确定初始和最终状态，或者这个状态很难写状态转移方程，那就需要换状态，换状态的一般方式就是增加维度。

2、乘积最大

题目大意：在一个长度为n的数字串s中插入k个乘号，使得乘积最大

举例：数字串123，k=1，可得最大乘积为12*3=36

求解状态：

1）、找出限制因子

显然n和k就是限制因子

2）、缩小规模

在一个长度为i的数字串中插入j个乘号，使得乘积最大（i<=n，j<=k）

3）、综合

所以状态就是：f[i][j]表示在一个长度为i的数字串中插入j个乘号的最优解

因为数字串有序，所以状态转移方程变成下面的：

f[i][j]表示在数字串s的前i个数字中插入j个乘号的最优解

今天太晚，明天继续