题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数?为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数(从1 到 n 中1出现的次数)。
 class Solution:
def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
# write code here
if n<0:
return 0
high=n
i=1
total=0
while high!=0:
#获取第i位的高位
high=n//10**i
tmp=n%10**i
#获取第i位
curr=tmp//10**(i-1)
#获取低位数值
low=tmp%10**(i-1)
if curr<1:
total+=high*10**(i-1)
elif curr>1:
total+=(high+1)*10**(i-1)
else:
total+=high*10**(i-1)+low+1
i+=1
return total

链接:https://www.nowcoder.com/questionTerminal/bd7f978302044eee894445e244c7eee6
来源:牛客网

一、1的数目

编程之美上给出的规律:

1. 如果第i位(自右至左,从1开始标号)上的数字为0,则第i位可能出现1的次数由更高位决定(若没有高位,视高位为0),等于更高位数字X当前位数的权重10i-1

2. 如果第i位上的数字为1,则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响,还受低位影响(若没有低位,视低位为0),等于更高位数字X当前位数的权重10i-1+(低位数字+1)。

3. 如果第i位上的数字大于1,则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定(若没有高位,视高位为0),等于(更高位数字+1)X当前位数的权重10i-1

二、X的数目

这里的

X∈[1,9]

,因为

X=0

不符合下列规律,需要单独计算。

首先要知道以下的规律:

  • 从 1 至 10,在它们的个位数中,任意的 X 都出现了 1 次。
  • 从 1 至 100,在它们的十位数中,任意的 X 都出现了 10 次。
  • 从 1 至 1000,在它们的百位数中,任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推,从 1 至

10
i

,在它们的左数第二位(右数第

i

位)中,任意的 X 都出现了

10

i−1

 次。

这个规律很容易验证,这里不再多做说明。

接下来以

n=2593,X=5

为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中,数字 5 总计出现了 813 次,其中有 259
次出现在个位,260 次出现在十位,294 次出现在百位,0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据,首先是个位。从 1 至 2590 中,包含了 259 个 10,因此任意的 X 都出现了 259
次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593,因为它们最大的个位数字 3 < X,因此不会包含任何 5。(也可以这么看,3<X,则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定,等于更高位数字(259)X101-1=259)。

然后是十位。从 1 至 2500 中,包含了 25 个 100,因此任意的 X 都出现了

25×10=250

次。剩下的数字是从 2501 至 2593,它们最大的十位数字 9 > X,因此会包含全部 10 个
5。最后总计 250 + 10 = 260。(也可以这么看,9>X,则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定,等于更高位数字(25+1)X102-1=260)。

接下来是百位。从 1 至 2000 中,包含了 2 个 1000,因此任意的 X 都出现了

2×100=200

次。剩下的数字是从 2001 至 2593,它们最大的百位数字 5 ==
X,这时情况就略微复杂,它们的百位肯定是包含 5 的,但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来,是从 2500
至 2593,数字的个数与百位和十位数字相关,是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。(也可以这么看,5==X,则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响,还受低位影响,等于更高位数字(2)X103-1+(93+1)=294)。

最后是千位。现在已经没有更高位,因此直接看最大的千位数字 2 < X,所以不会包含任何 5。(也可以这么看,2<X,则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定,等于更高位数字(0)X104-1=0)。

到此为止,已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法,可以看到,当计算右数第

i

位包含的 X 的个数时:

    1. 取第

      i

      位左边(高位)的数字,乘以

      10

      i−1

      ,得到基础值

      a

    2. 取第 

      i

      位数字,计算修正值

      1. 如果大于 X,则结果为

        a+
        10

        i−1

      2. 如果小于 X,则结果为 

        a

      3. 如果等 X,则取第 

        i

        位右边(低位)数字,设为

        b

        ,最后结果为

        a+b+1

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