[CSP-S模拟测试]:排列组合（数学 or 找规律）

题目描述

$T$组数据，每次给定$n$，请求出下式的值，对$10^9+7$取模：

$$C_n^0\times C_n^0+C_n^1\times C_n^1+C_n^2\times C_n^2+...+C_n^n\times C_n^n$$

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输入格式

第一行一个整数$T$，表示数据组数。
接下来$T$行，每一行包含一个整数$n$，含义如题所示。

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输出格式

输出$T$行，每行包含一个整数，表示对$10^9+7$取模后的答案。

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样例

样例输入：

2
1
2

样例输出：

2
6

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数据范围与提示

对于$30\%$的数据，$T\leqslant 500,n\leqslant 10,000$。
对于$100\%$的数据，$T\leqslant 100,000,n\leqslant 1,000,000$。

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题解

祝大家国庆快乐，集训快乐！

打表找规律可以发现答案其实就是$C_{2n}^n$，那么我们现在来讲一下这到底是为什么。

先来讲个故事：

我家门前有两棵树，一棵是枣树，另一棵也是枣树。——鲁迅

我家门前有两棵枣树，一棵枣树上有$n$颗枣，另一棵枣树上也有$n$颗枣。——$HEOI-$动动

麻麻让我在这两棵枣树上摘$n$棵枣，有多少种方案数呢？

我们假设在第一棵树上摘$i$颗枣，那么另一棵树上要摘$n-i$颗枣，方案数就是：$C_n^i\times C_n^{n-i}$，那么总的方案数就是$\sum \limits_{i=0}^n C_n^i\times C_n^{n-i}$。

然而，枣是一样的，树也是一样的，那么方案数也可以写成：$C_{2n}^n$。

也就是说$C_{2n}^n=\sum \limits_{i=0}^n C_n^i\times C_n^{n-i}$。

我们还知道$C_n^i=C_n{n-i}$，于是上式就变成了：$C_{2n}^n=\sum \limits_{i=0}^n {(C_n^i)}^2$。

那么$C_n^0\times C_n^0+C_n^1\times C_n^1+C_n^2\times C_n^2+...+C_n^n\times C_n^n=C_{2n}^n$。

故事讲完啦，小朋友们都懂了嘛～

时间复杂度：$\Theta(T\times \log_{mod}n)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n;
long long jc[2000001],inv[2000001];
long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y%2)res=res*x%mod;
		y>>=1;
		x=x*x%mod;
	}
	return res;
}
void pre_work()
{
	jc[0]=1;
	for(long long i=1;i<=2000000;i++)
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	inv[2000000]=qpow(jc[2000000],1000000005)%mod;
	for(long long i=2000000;i>0;i--)
		inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
long long get_C(int x,int y){return jc[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;}
int lucas(int x,int y)
{
	if(!y)return 1;
	return get_C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod)%mod;
}
int main()
{
	pre_work();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",lucas(n<<1,n));
	}
	return 0;
}

---

rp++