2019牛客暑期多校训练营（第三场） - D - Big Integer - 数论

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/883/D

\(A(n)\) 是由n个1组成的一个整数。

第一步：把 \(A(n)\) 表示为 \(\frac{10^n-1}{9}\) （第一步都想不出来）

那么 \(A(n)=0\;mod\;p\) ，当9和p互质的时候，存在一个 \(inv9\) ，那么原式即 \((10^n-1)*inv9=0\;mod\;p\)

两边乘9，移项得 \(10^n=1\;mod\;p\)

由欧拉定理，得 \(10^n=10^{n\;mod\;p-1}\;mod\;p\)

即这样的n必定是循环的，取 \(p-1\) 以内的一个研究

由费马小定理 \(a^{p-1} = 1\;mod\;p\) ，这样的n存在，且 \(n=p-1\)

这样，随着n增加，模p的余数必定是循环的，循环节的长度至多为 \(p-1\) ，那会不会有更短的呢？

考虑 \(d|p-1\) ，那么可以变形为 \(10^{p-1}=10^{d\frac{p-1}{d}}\;mod\;p\) 即 \((10^\frac{p-1}{d})^{d}=1\;mod\;p\)

这样最小的循环节必定是 \(p-1\) 的因数（赛中有发现），\(O(\sqrt {p})\) 枚举d，\(O(logd)\) 验证其是否是循环节（直接快速幂看看是不是和 \(10^0=1\;mod\;p\)一样就可以了）

目前复杂度\(O(\sqrt {p} logp)\)

找到最小的循环节之后，考虑怎么计数。那当然是要求 \(d|n\) 的个数，这样的（正整数）n明显在m以内有 \(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\)个。

但是套上 \(n=i^j\) 之后呢？猜测和d的质因数分解有关（赛中有发现）。

考虑i的质因数分解 \(i=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_k^{a_k}\)

则 \(i^j=p_1^{ja_1}p_2^{ja_2}p_3^{ja_3}...p_k^{ja_k}\)

分解d \(d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}...p_k^{b_k}\)

整除的条件，d是n的因子，则n的各个质因子覆盖d，即 \(ja_x>=b_x\) 对所有的 \(1<=x<=k\) 成立。

最值得学习的技巧来啦：考虑固定住j，那么合法的i满足什么条件才能满足上式呢？是d的每种质因子\(p_x\)，i都至少要有\(\lceil\frac{b_x}{j}\rceil\)个

把这个值单独抽出来记为g \(g=p_x^{\lceil\frac{b_x}{j}\rceil}\)，i要覆盖g，则\(g|i\)，这样的i在n范围内有\(\lfloor\frac{n}{g}\rfloor\)个。

那么单个j的情况可以遍历d的质因子（分解的复杂度被上面对p的分解吸收，而分解后至多十几种质因子）求出。

当j变化时也会引起g的变化，具体来说每次j的变化可能会导致一些指数变小，但其实指数的总和至多就30多，也就是可以暴力对j进行统计。

在j超过最大的\(b_x\)之后，这样g变成1然后不再改变，以后的i都有n个。

那么特例为什么有2,3,5呢？首先3和9不互质，不存在这样的inv9，所幸3的倍数的各位数字之和都是3的倍数，考虑固定j=1,那么ans+=n/3，当j=2的时候，分别有1，4，9，16，25，36，一个不严谨的办法是继续ans+=n/3，而j=3的时候，分别是1，8，27，64，125，216，也是ans+=n/3。所以干脆就ans=(n*m)/3。

当2和5的时候， \(10^n = 1\;mod\;p\) 显然不可能成立，因为 \(10^n = 0\;mod\;p\) 显然成立。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int read() {
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')
        c = getchar();
    int x = 0;
    while(c >= '0' && c <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x;
}

int qpow(ll x, int n, int p) {
    ll res = 1;
    while(n) {
        if(n & 1)
            res = res * x % p;
        x = x * x % p;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

const int INF = 1e9 + 1;

int find_d(int p) {
    int n = p - 1, d = INF;
    for(int i = 1; i * i <= n; ++i) {
        if(n % i == 0) {
            if(qpow(10, i, p) == 1)
                return i;

            if(i * i != n) {
                if(qpow(10, n / i, p) == 1) {
                    d = min(d, n / i);
                }
            }

        }
    }
    return d;
}

int pk[50], bk[50], k;
int factor(int n) {
    int maxbk = 0;
    k = 0;
    for(int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if(n % i == 0) {
            ++k;
            pk[k] = i;
            bk[k] = 0;
            while(n % i == 0) {
                ++bk[k];
                n /= i;
            }
            maxbk = max(maxbk, bk[k]);
        }
    }
    if(n != 1) {
        ++k;
        pk[k] = n;
        bk[k] = 1;
        maxbk = max(maxbk, bk[k]);
    }
    return maxbk;
}

ll solve(int p, int n, int m) {

    int d = find_d(p);
    if(d == INF)
        return 0;
    int maxbk = factor(d);

    ll ans = 0;
    for(int j = 1; j <= m; ++j) {
        int g = 1;
        for(int i = 1; i <= k; ++i) {
            g = g * qpow(pk[i], (bk[i] + j - 1) / j, p);
        }
        ans += n / g;
        if(j >= maxbk) {
            ans += 1ll * (m - j) * (n / g);
            return ans;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
#ifdef Yinku
    freopen("Yinku.in", "r", stdin);
#endif // Yinku
    int T = read();
    while(T--) {
        int p = read(), n = read(), m = read();
        ll ans = 0;
        switch(p) {
        case 3:
            ans = 1ll * (n / 3) * m;
            break;
        case 2:
            break;
        case 5:
            break;
        default:
            ans = solve(p, n, m);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
}

既然有dalao喜欢开源模板……

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=40924149

include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef vector<int> VI;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
mt19937 mrand(random_device{}());
const ll mod=1000000007;
int rnd(int x) { return mrand() % x;}
ll powmod(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
ll gcd(ll a,ll b) { return b?gcd(b,a%b):a;}
// head

typedef pair<ll,ll> PLL;
namespace Factor {
    const int N=1010000;
    ll C,fac[10010],n,mut,a[1001000];
    int T,cnt,i,l,prime[N],p[N],psize,_cnt;
    ll _e[100],_pr[100];
    vector<ll> d;
    inline ll mul(ll a,ll b,ll p) {
        if (p<=1000000000) return a*b%p;
        else if (p<=1000000000000ll) return (((a*(b>>20)%p)<<20)+(a*(b&((1<<20)-1))))%p;
        else {
            ll d=(ll)floor(a*(long double)b/p+0.5);
            ll ret=(a*b-d*p)%p;
            if (ret<0) ret+=p;
            return ret;
        }
    }
    void prime_table(){
        int i,j,tot,t1;
        for (i=1;i<=psize;i++) p[i]=i;
        for (i=2,tot=0;i<=psize;i++){
            if (p[i]==i) prime[++tot]=i;
            for (j=1;j<=tot && (t1=prime[j]*i)<=psize;j++){
                p[t1]=prime[j];
                if (i%prime[j]==0) break;
            }
        }
    }
    void init(int ps) {
        psize=ps;
        prime_table();
    }
    ll powl(ll a,ll n,ll p) {
        ll ans=1;
        for (;n;n>>=1) {
            if (n&1) ans=mul(ans,a,p);
            a=mul(a,a,p);
        }
        return ans;
    }
    bool witness(ll a,ll n) {
        int t=0;
        ll u=n-1;
        for (;~u&1;u>>=1) t++;
        ll x=powl(a,u,n),_x=0;
        for (;t;t--) {
            _x=mul(x,x,n);
            if (_x==1 && x!=1 && x!=n-1) return 1;
            x=_x;
        }
        return _x!=1;
    }
    bool miller(ll n) {
        if (n<2) return 0;
        if (n<=psize) return p[n]==n;
        if (~n&1) return 0;
        for (int j=0;j<=7;j++) if (witness(rand()%(n-1)+1,n)) return 0;
        return 1;
    }
    ll gcd(ll a,ll b) {
        ll ret=1;
        while (a!=0) {
            if ((~a&1) && (~b&1)) ret<<=1,a>>=1,b>>=1;
            else if (~a&1) a>>=1; else if (~b&1) b>>=1;
            else {
                if (a<b) swap(a,b);
                a-=b;
            }
        }
        return ret*b;
    }
    ll rho(ll n) {
        for (;;) {
            ll X=rand()%n,Y,Z,T=1,*lY=a,*lX=lY;
            int tmp=20;
            C=rand()%10+3;
            X=mul(X,X,n)+C;*(lY++)=X;lX++;
            Y=mul(X,X,n)+C;*(lY++)=Y;
            for(;X!=Y;) {
                ll t=X-Y+n;
                Z=mul(T,t,n);
                if(Z==0) return gcd(T,n);
                tmp--;
                if (tmp==0) {
                    tmp=20;
                    Z=gcd(Z,n);
                    if (Z!=1 && Z!=n) return Z;
                }
                T=Z;
                Y=*(lY++)=mul(Y,Y,n)+C;
                Y=*(lY++)=mul(Y,Y,n)+C;
                X=*(lX++);
            }
        }
    }
    void _factor(ll n) {
        for (int i=0;i<cnt;i++) {
            if (n%fac[i]==0) n/=fac[i],fac[cnt++]=fac[i];}
        if (n<=psize) {
            for (;n!=1;n/=p[n]) fac[cnt++]=p[n];
            return;
        }
        if (miller(n)) fac[cnt++]=n;
        else {
            ll x=rho(n);
            _factor(x);_factor(n/x);
        }
    }
    void dfs(ll x,int dep) {
        if (dep==_cnt) d.pb(x);
        else {
            dfs(x,dep+1);
            for (int i=1;i<=_e[dep];i++) dfs(x*=_pr[dep],dep+1);
        }
    }
    void norm() {
        sort(fac,fac+cnt);
        _cnt=0;
        rep(i,0,cnt) if (i==0||fac[i]!=fac[i-1]) _pr[_cnt]=fac[i],_e[_cnt++]=1;
            else _e[_cnt-1]++;
    }
    vector<ll> getd() {
        d.clear();
        dfs(1,0);
        return d;
    }
    vector<ll> factor(ll n) {
        cnt=0;
        _factor(n);
        norm();
        return getd();
    }
    vector<PLL> factorG(ll n) {
        cnt=0;
        _factor(n);
        norm();
        vector<PLL> d;
        rep(i,0,_cnt) d.pb(mp(_pr[i],_e[i]));
        return d;
    }
    bool is_primitive(ll a,ll p) {
        assert(miller(p));
        vector<PLL> D=factorG(p-1);
        rep(i,0,SZ(D)) if (powl(a,(p-1)/D[i].fi,p)==1) return 0;
        return 1;
    }
    int findorder(ll a,ll p) {
        assert(miller(p));
        vector<PLL> D=factorG(p-1);
        int t=p-1;
        rep(i,0,SZ(D)) {
            while (t%D[i].fi==0&&powl(a,t/D[i].fi,p)==1) t/=D[i].fi;
        }
        return t;
    }
}

int _,p;
ll n,m;
int main() {
    Factor::init(100000);
    for (scanf("%d",&_);_;_--) {
        scanf("%d%lld%lld",&p,&n,&m);
        if (p==2||p==5) {
            puts("0");
            continue;
        }
        if (p==3) {
            printf("%lld\n",m*(n/3));
            continue;
        }
        ll x=Factor::findorder(10,p);
        vector<PLL> dd=Factor::factorG(x);
        ll ans=0;
        for (int i=1;i<=m;i++) {
            ll y=1;
            int me=0;
            for (auto q:dd) {
                int e=(q.se+i-1)/i;
                me=max(me,e);
                rep(j,0,e) y=y*q.fi;
            }
            if (me==1) {
                ans+=(n/y)*(m-i+1);
                break;
            } else {
                ans+=n/y;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}