[CSP-S模拟测试]:tree(DP)
题目传送门(内部题57)
输入格式
第一行包含一个数:$n$表示树的节点数。
接下来$n-1$行,每行包含两个数:$u,v$表示无根树的一条边。
输出格式
输出$n$行,第$i$行包含一个浮点数,保留三位小数,表示第$i$号点第一次访问的期望时间。
样例
样例输入:
3
1 2
2 3
样例输出:
1.000
2.000
5.000
数据范围与提示
样例解释:
样例解释:容易分析出,所有可能情况下,到达$1$号点和$2$号点的时间都分别是:$1$和$2$,我们考虑$3$号点的到达时间,所有可能的过程:$12(12)*3$,表示先到$1$号店,再到$2$号点,然后重复任意次$1$、$2$(可以是$0$次),最后到达$3$。
对于$12(12)^i3$这个具体过程来说(表示中间经过$i$次$1$、$2$),到达$3$号点的时间是$t_i=2(i+1)+1$,这个随机过程的概率是$p_i={(\frac{1}{2})}^{(i+1)}$,期望的时间是$E(u=3)=\sum \limits_{i=0}^{\infty}t_ip_i=5$,故到达$3$号点的期望时刻为$5$。
数据范围:
对于$10\%$的数据,$1\leqslant 10$,保证每个点的度不超过$2$;
对于另外$20\%$的数据,$1\leqslant n\leqslant {10}^5$,保证每个点的度不超过$2$;
对于另外$20\%$的数据,$1\leqslant n\leqslant 100$;
对于$100\%$的数据,$1\leqslant n\leqslant {10}^5$。
题解
考虑$DP$,设$dp[i]$表示到达$i$点的期望时间。
你可能会很容易的推出来一个式子:
$$dp[u]=dp[fa]+2(n-size[u])-1$$
然后你会发现没有小数,删掉它交暴力。
这就是我的考试全过程……
然而,三位小数就是逗我玩的……
无语……
下面讲一下推导:
考虑一个随机过程,第一次走到$u$号点的时间可以分成两部分,第一部分是从$1$号点随机游走第一次走到$u$的父亲$p$的时间,第二部分是从$p$开始走,第一次走到$u$的时间,由期望的线性性,第一次走到$u$的时间期望等于这两部分期望的和。第一部分是一个子问题,我们考虑怎么解决第二部分,我们把这个问题变成一棵树(并且根节点脑袋上也有一条边),从根节点开始随机游走,走出这棵树期望的时间,我们用$x_u$表示这个期望,我们对$u$的子树中的点也类似地定义$x_v$,这样我们可以列出关系式:
$$x_u=\frac{(1+\sum \limits_{v}(x_u+x_v+1))}{d}$$
其中$d$是$u$的度数(包括那根天线),这个关系是中的第一个$1$表示直接向上走,后面那个扩后中的三部分,那个$1$表示从$u$走向$v$,$x_v$表示从$v$走回来期望时间, 表示这个时候继续走,走出去还需要花的时间。因为是等概率,所以直接乘以$frac{1}{d}$这个概率即可。化简后是:
$$x_u=d+\sum \limits_{v}x_v$$
即$x_u$等于$u$这棵子树的所有节点度的和,考虑到除了那根天线之外,所有的边对度的贡献为$2$,所以:
$$x_u=2size[u]+1$$
这样,子问题就有了一个简单的答案了。我们回到原问题,用$dp[u]$表示第一次走到$u$的期望时间,用$fa$表示$u$的父亲,有:
$$dp[u]=dp[fa]+2(n-size[u])-1$$
时间复杂度:$\Theta(n)$。
期望得分:$100$分。
实际得分:$100$分。
代码时刻
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec{int nxt,to;}e[200001];
int head[100001],cnt;
int n;
bool vis[100001];
int size[100001];
long long dp[100001];
void add(int x,int y)
{
e[++cnt].nxt=head[x];
e[cnt].to=y;
head[x]=cnt;
}
void dfs1(int x)
{
vis[x]=1;
size[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(!vis[e[i].to])
{
dfs1(e[i].to);
size[x]+=size[e[i].to];
}
}
void dfs2(int x)
{
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(!vis[e[i].to])
{
dp[e[i].to]=dp[x]+2*(n-size[e[i].to])-1;
dfs2(e[i].to);
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);add(y,x);
}
dfs1(1);
memset(vis,0,sizeof(vis));
dp[1]=1;
dfs2(1);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%.3lf\n",(double)dp[i]);
return 0;
}
rp++
[CSP-S模拟测试]:tree(DP)的更多相关文章
- [CSP-S模拟测试]:Tree(贪心)
题目描述 给定一颗$n$个点的树,树边带权,试求一个排列$P$,使下式的值最大 $$\sum \limits_{i=1}^{n-1}maxflow(P_i,P_{i+1})$$ 其中$maxflow( ...
- noi2019模拟测试赛(四十七)
noi2019模拟测试赛(四十七) T1与运算(and) 题意: 给你一个序列\(a_i\),定义\(f_i=a_1\&a_2\&\cdots\&a_i\),求这个序列的所 ...
- [开源]微信在线信息模拟测试工具(基于Senparc.Weixin.MP开发)
目前为止似乎还没有看到过Web版的普通消息测试工具(除了官方针对高级接口的),现有的一些桌面版的几个测试工具也都是使用XML直接请求,非常不友好,我们来尝试做一个“面向对象”操作的测试工具. 测试工具 ...
- [考试反思]1109csp-s模拟测试106:撞词
(撞哈希了用了模拟测试28的词,所以这次就叫撞词吧) 蓝色的0... 蓝色的0... 都该联赛了还能CE呢... 考试结束前15分钟左右,期望得分300 然后对拍发现T2伪了写了一个能拿90分的垃圾随 ...
- [考试反思]1003csp-s模拟测试58:沉淀
稳住阵脚. 还可以. 至少想拿到的分都拿到了,最后一题的确因为不会按秩合并和线段树分治而想不出来. 对拍了,暴力都拍了.挺稳的. 但是其实也有波折,险些被卡内存. 如果内存使用不连续或申请的内存全部使 ...
- [考试反思]0814NOIP模拟测试21
前两名是外校的240.220.kx和skyh拿到了190的[暴力打满]的好成绩. 我第5是170分,然而160分就是第19了. 在前一晚上刚刚爆炸完毕后,心态格外平稳. 想想前一天晚上的挣扎: 啊啊啊 ...
- csp-s模拟测试98
csp-s模拟测试98 $T1$??不是我吹我轻松手玩20*20.$T2$装鸭好像挺可做?$T3$性质数据挺多提示很明显? $One$ $Hour$ $Later$ 这$T1$什么傻逼题真$jb$难调 ...
- csp-s模拟测试97
csp-s模拟测试97 猿型毕露.水题一眼秒,火题切不动,还是太菜了. $T1$看了一会儿感觉$woc$期望题$T1??$假的吧??. $T2$秒. $T3$什么玩意儿. 40 01:24:46 00 ...
- csp-s模拟测试95
csp-s模拟测试95 去世场祭. $T1$:这不裸的除法分块吗. $T2$:这不裸的数据结构优化$Dp$吗. $T3$:这不裸的我什么都不会搜索骗$30$分吗. 几分钟后. 这除法分块太劲了..(你 ...
随机推荐
- Cookie 记录最后访问时间
package cn.gs.ly.servlet; import java.io.IOException; import java.io.PrintWriter; import java.util.D ...
- JSP中四种属性保存范围(2)
1.session <%@ page language="java" contentType="text/html" pageEncoding=" ...
- hdu6575Budget
Problem Description Avin’s company has many ongoing projects with different budgets. His company rec ...
- vue 全局filter的坑
下面连段代码的filter放在不同的位子会有不同的效果, 1.filter放在new vue之后,居然不起作用 <script> new Vue({ el: '#app', data: { ...
- [Bzoj1008][HNOI2008]越狱(组合计数)
题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1008 组合计数的简单题,可能越狱的方案数等于总方案数-不可能越狱的方案数,则: 总方案数 ...
- python学习第三十六天命名空间的概念
python命名空间也叫名字空间,也叫名称空间,任何编程语言都有命名空间,大体意思都一样,定义文件所在的目录,下面详细讲述命名空间几种情况 1,locals: 是函数内的名称空间,包括局部变量和形参 ...
- python 列表总结大全
1定义 names=[] names=[1,2,1,1,1,] names=[1.'10'.[1,1]] 2添加元素 names.append() names.insert(0,10) names.e ...
- Java-技术专区-设计模式-reactor模式
模型: 反应器模式做法是:汽车是乘客访问的主体(Reactor),乘客上车后,到售票员(acceptor)处登记,之后乘客便可以休息睡觉去了,当到达乘客所要到达的目的地后,售票员将其唤 ...
- Mybatis-技术专区-中的条件查询createCriteria example里面的条件
之前用Mybatis框架反向的实体,还有实体里面的Example,之前只是知道Example里面放的是条件查询的方法,可以一直不知道怎么用,到今天才开始知道怎么简单的用. 在我们前台查询的时候会有许多 ...
- zabbix3.0自动发现磁盘并监控磁盘IO
Zabbix 版本:3.0 操作系统:Ubuntu16.04 操作环境,在被监控的主机上安装zabbix agent.安装方式为源码包安装. 简要安装步骤: 参考:https://www.zabbix ...