825F - String Compression

题意

给出一个字符串,你要把它尽量压缩成一个短的字符串,比如一个字符串ababab你可以转化成3ab,长度为 3,比如bbbacacb转化成3b2ac1b,长度为 7,aaaaaaaaaa转化为10a,长度为 3。

分析

求转换后的最短字符串,那么怎么去组合字符串中的子串是关键。

考虑 dp,dp[1...L] 对应字符串 S[0...L-1] 。dp[i] 表示字符串 S[0, i - 1] 转化后的字符串长度,dp[0] = 0。

状态转移方程:$ dp[i] = min(dp[i], dp[j] + has[j][i - 1]) $,其中 \(has[j][i - 1]\) 表示字符串 S[j, i - 1] 由某个字符(串)重复 k 次,k 取最大的时候,转化后的长度。比如ababab重复了两次,那么 \(has\) 的值为 3。

那么我们就要去预处理 has 的值,一个字符串(长度为 L)由 k 个连续且相同的子串组成,求 k 的最大值。这个问题不就是某个经典的字符串题吗?

当然不用后缀数组那么麻烦,那只是为了练习 : ) 。

考虑 KMP 算法中 nxt 数组的含义,对于字符串abcabc,那么 \(nxt[6] = 3\),即前缀后缀相同的子串长,我们称最小连续的那个子串为循环节,设 \(l = L - nxt[L]\),如果 \(l\) 刚好整除 \(L\),那么 \(l\) 就是循环节的长度。对于字符串ababab, \(nxt[6]=4\) ,假如后面还有字符,第 7 个字符导致失配,最后的四个字符abab不用再去匹配了,直接由abab向后匹配,正好是右移了一个循环节的位置。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 8000 + 10;
const int INF = 1e9;
char T[MAXN];
int nxt[MAXN];
void getNext() {
int tlen = strlen(T);
int j, k;
j = 0;
k = -1;
nxt[0] = -1;
while(j < tlen)
if(k == -1 || T[j] == T[k])
nxt[++j] = ++k;
else
k = nxt[k];
}
int getl(int x) {
int cnt = 0;
while(x) {
cnt++;
x /= 10;
}
return cnt;
}
char S[MAXN];
int dp[MAXN];
int has[MAXN][MAXN];
int main() {
scanf("%s", S);
int L = strlen(S);
for(int i = 0; i < L; i++) {
has[i][i] = 2;
int l = 0;
for(int j = i; j < L; j++) {
T[l++] = S[j];
}
T[l] = 0;
getNext();
l = 0;
for(int j = i + 1; j < L; j++) {
l++;
int k = j - i + 1;
int p = k - nxt[l + 1];
if(k % p == 0) {
has[i][j] = getl(k / p) + p;
} else has[i][j] = j - i + 2;
}
}
dp[0] = 0; // dp[1..L] 对应字符串 S[0..L-1]
for(int i = 1; i <= L; i++) {
dp[i] = i + 1;
for(int j = 0; j < i; j++) {
// [j + 1, i] 对应字符串的 [j, i - 1]
dp[i] = min(dp[i], dp[j] + has[j][i - 1]);
}
}
printf("%d\n", dp[L]);
return 0;
}

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