AGC019-E Shuffle and Swap

给定两个长度为\(n\le 10^5\)的\(01\)串 \(A, B\), 满足 \(1\) 的数量相等

求通过下列方式将\(A\)变成\(B\)的概率 (mod意义下)

构造序列\(a,b\). 使得 \(a_i = A中第i个1的位置\), b同理

对\(a,b\)进行shuffle

然后for i from 1 to n: swap(A[a[i]], A[b[i]])

Analysis

瞎推了一波

显然, \(A,B\)中同为 \(0\) 的项没有用的, 且 答案只与 \(A,B\)中同为\(1\)的数量, 以及 \(A,B\)不同的数量有关

注意到求解的问题与 原串的顺序无关, 我们调换成一种 符合自己的思维方式的序列

A:  111111100010001000100
B:  111111100000100010001
a:  1111111   1   1   1
b:  1111111     1   1   1
      n个         m对

这是初始的 \(a,b\)可选 交换点 的位置

定义一次交换为 : 选择一个未使用的交换点\(a\), 再选择一个未使用的交换点\(b\), 将他们match, 然后, 交换\(A\)中的对应位置

如图

a:  1  1  1  1     1   1   1               a:  1  0  1  1     1   1   1
		\                                          \
         ------------               =>              ------------
                     \                                          \
b:  1  1  1  1        1   1   1            b:  1  1  1  1        0   1   1
         n                m                         n                m

观察到

(1) \(a\) 中的 \(1\) 对应着 \(A\)中的 \(1\), \(B\)中的\(0\), \(b\) 中的 \(1\) 对应着 \(A\)中的 \(0\), \(B\)中的\(1\)

(2) \(n\)中的每个位置, 每个位置有两个交换点可选. \(m\) 中的位置, 每个位置仅有一个交换点可选

因此, 我们不可以选择 \(n\) 中的 \(b\) 交换点 与 \(m\) 中的 \(a\) 交换点 进行匹配. 否则会使 \(a\) 中的该位置变成 \(1\), 而该位置需要是 \(0\), 后续又没有交换点来跟其他位置交换, 永远不能合法

考虑被\(match\)的位置 组成若干连通块. 因为操作是依次进行, 考虑连通块中 的 第一个操作

(1) \(n - n\) : 此时, 若被匹配的是同一位置. 连通块只有一条边. 否则, 两个位置各剩余了一个交换点, 一个 \(a\), 一个 \(b\). 此时:

这个 \(a\) 不能与 \(m\) 中的 \(b\) 连, 否则永远是 \(0\) (目前只剩一个交换点了)

这个 \(b\) 不能与 \(m\) 中的 \(a\) 连, 这个是之前观察的结果

因此, 只能继续和 \(n\) 内部连, 接着又有一对 \(a,b\), 又只能在内部连

因此, 第一步选择了n-n连, 则只能在n内组成连通块

注意到\(A\)中这些位置都是\(1\) , 排列顺序是可以任意的

(2) \(m-m\) : 由于位置均只有一个交换点, 连通块只有一条边

(3) \(n- m\) : 此时\(m\)中的点合法了, 但导致一个\(n\)中的位置变成了\(0\)

接着这个 \(0\) 可以在 \(n\) 被踢皮球 传来传去

然后最后 必须在 \(m\) 中的某个 \(a\) 结束, 即

a:  1  1  1  1     1   1   1               a:  1  1  1  0     1   1   1
		      \                                          \
               ------               =>                    ------
                     \                                          \
b:  1  1  1  1        1   1   1            b:  1  1  1  1        0   1   1
         n                m                         n                m

														  |
														  v

a:  0  0  0  0     1   1   1               a:  1  1  1  0     1   1   1
		          /                            \  \  \   \
     -------------                  <=          \  \  \   ------
    /                                            \  \  \        \
b:  1  0  0  0        0  1   1            b:  1  1  1  1        0   1   1
        n                m                         n                m

注意, 上图 是交换点的可用状态, 对应\(A\)中的\(0\) 从右往左一直被踢到了某个位置, 回归合法

第一步选择了n-m, 则只能在n中转一转, 然后回到m结束

Solution

因此, 一个连通块内的至多一对 \(m\) 中的点,

我们先用 \(m!\) 将 \(m\)中的点 分成 \(m\)对, 钦定好m中的匹配方法

然后我们先不考虑 只含 \(n\) 的连通块

考虑块内的排列方案数, 对于含 \(m\) 连通块, 若含有 \(0\) 个 \(n\) 中 的点, 则 方案数\(=1\)

否则, 方案数 \(n\)个点组成一条链, \(n!\)

考虑到最后要 多项式系数 把 \(n\)分入 不同的连通块, 多项式系数把连通块插在一起

构造生成函数 $$F(i) = i! \frac{1}{i!}\frac{1}{(i+1)!}=\frac{1}{(i+1)!}$$ 第一个阶乘是连通块内顺序, 第二个是把 \(i\) 分入不同连通块的 多项式系数分母, \(i+1\) 是连通块大小, 算得是连通块插在一起的分母

那么答案为

\[m! \sum_{i=1}^n F^m(i) \frac{n!}{(n-i)!} \frac{(n+m)!}{(n-i)!}[(n-i)!]^2=m! \sum_{i=1}^n F^m(i) ~n!~(n+m)!
\]

剩下的随意排列, 随意组成连通块, 所以是阶乘的平方