UVA 1642 Magical GCD(gcd的性质,递推)
分析:对于区间[i,j],枚举j。
固定j以后,剩下的要比较M_gcd(k,j) = gcd(ak,...,aj)*(j-k+1)的大小, i≤k≤j。
此时M_gcd(k,j)可以看成一个二元组(g, k)。
根据gcd的性质gcd(a1,a2,...,an) = gcd(a1,gcd(a2,..,an)),而且gcd(a,b) | b。
如果gcd(ak,...,aj) != gcd(ak+1,...,aj),那么gcd(ak,...,aj) ≤ 2*gcd(ak+1,...,aj)。
原本有j个gcd,而不同的gcd值之间至少相差2倍,所以不同的gcd值的数量是O(log2j)。
gcd相同的只要保留最小的k。
把j-1对应的M_gcd的二元组保留成一个表tb。然后想想怎么递推j的表,
根据gcd(a1,a2,...,aj) = gcd(gcd(a1,..aj-1),aj),一部分是tbj.g = gcd(tbj-1.g,a[j]),下标没有改变,
另一部分是二元组(a[j],j)。一个有序序列依次和a[j]求gcd以后不一定有序了,去重复前还要排下序。
总的复杂度是O(nlogn*loglogn )
/*********************************************************
* --------------Crispr--------------- *
* author AbyssalFish *
**********************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
//list<ll> gcd_tab;
//ll g_tb[64];
//int idx[64];
typedef pair<ll,int> pli;
pli tb[]; int sz; ll gcd(ll a,ll b)
{
ll t;
while(b){
t = b;
b = a%b;
a = t;
}
return a;
} //#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int T , n;
scanf("%d",&T);
ll a;
while(T--){
scanf("%d",&n);
sz = ;
ll ans = ; #define val first
#define idx second
for(int i = ; i < n; i++){
scanf("%lld",&a);
for(int j = ; j < sz; j++){
tb[j].val = gcd(tb[j].val,a);
}
tb[sz++] = pli(a,i-);
sort(tb,tb+sz);
int k = ;
for(int j = ; j < sz; j++){
if(tb[j].val != tb[k].val){
ans = max((i-tb[k].idx)*tb[k].val, ans);
if(++k != j) tb[k] = tb[j];
}
}
ans = max((i-tb[k].idx)*tb[k].val, ans);
sz = k+;
}
printf("%lld\n", ans);
}
return ;
}
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