ACM学习历程—ZOJ 3868 GCD Expectation(莫比乌斯 || 容斥原理)
Description
Edward has a set of n integers {a1, a2,...,an}. He randomly picks a nonempty subset {x1, x2,…,xm} (each nonempty subset has equal probability to be picked), and would like to know the expectation of [gcd(x1, x2,…,xm)]k.
Note that gcd(x1, x2,…,xm) is the greatest common divisor of {x1, x2,…,xm}.
Input
There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T indicating the number of test cases. For each test case:
The first line contains two integers n, k (1 ≤ n, k ≤ 106). The second line contains n integers a1, a2,…,an (1 ≤ ai ≤ 106).
The sum of values max{ai} for all the test cases does not exceed 2000000.
Output
For each case, if the expectation is E, output a single integer denotes E · (2n - 1) modulo 998244353.
Sample Input
15 11 2 3 4 5
Sample Output
42
这个题目和之前做的莫比乌斯很像。
首先d | gcd的情况的方案数比较好做。
这个很容易想到是2^num[d]-1。其中num[d]表示数列里面d的倍数的个数。
然后就是无脑莫比乌斯了,
不过第一次我把快速幂放在了第二层for循环里面T了一发,导致重复计算了quickPow(d, k)。
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <vector>
#define LL long long
#define MOD 998244353 using namespace std; const int maxN = 1e6+;
int n, k, len;
int pow2[maxN], num[maxN];
int prime[maxN], u[maxN];
bool vis[maxN]; //莫比乌斯反演
//F(n)和f(n)是定义在非负整数集合上的两个函数
//并且满足条件F(n) = sum(f(d)) (d|n)
//那么f(n) = sum(u(d)*F(n/d)) (d|n)
//case 1: if d = 1, u(d) = 1
//case 2: if d = p1*p2...pk, (pi均为互异素数), u(d) = (-1)^k
//case 3: else, u(d) = 0;
//性质1: sum(u(d)) (d|n) = 1 (n == 1) or 0 (n > 1)
//性质2: sum(u(d)/d) (d|n) = phi(n)/n
//另一种形式:F(d) = sum(f(n)) (d|n) => f(d) = sum(u(n/d)*F(n)) (d|n)
//线性筛选求莫比乌斯反演函数代码
void mobius()
{
memset(vis, false,sizeof(vis));
u[] = ;
int cnt = ;
for(int i = ; i < maxN; i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[cnt++] = i;
u[i] = -;
}
for(int j = ; j < cnt && i*prime[j] < maxN; j++)
{
vis[i*prime[j]] = true;
if(i%prime[j])
u[i*prime[j]] = -u[i];
else
{
u[i*prime[j]] = ;
break;
}
}
}
} void init()
{
mobius();
pow2[] = ;
for (int i = ; i < maxN; ++i)
pow2[i] = *pow2[i-]%MOD;
} void input()
{
int tmp;
len = ;
scanf("%d%d", &n, &k);
memset(num, , sizeof(num));
for (int i = ; i < n; ++i)
{
scanf("%d", &tmp);
len = max(len, tmp);
num[tmp]++;
}
for (int i = ; i <= len; ++i)
{
for (int j = i*; j <= len; j += i)
num[i] += num[j];
}
} //快速幂m^n
LL quickPow(LL x, int n)
{
if (n == )
return ;
if (x == )
return ;
LL a = ;
while (n)
{
a *= n& ? x : ;
a %= MOD;
n >>= ;
x *= x;
x %= MOD;
}
return a;
} void work()
{
int ans = , val;
for (int i = ; i <= len; ++i)
{
val = quickPow(i, k);
for (int j = i; j <= len; j += i)
{
ans += ((LL)u[j/i]*val%MOD)*(pow2[num[j]]-)%MOD;
ans = (ans%MOD+MOD)%MOD;
}
}
printf("%d\n", ans);
} int main()
{
//freopen("test.in", "r", stdin);
init();
int T;
scanf("%d", &T);
for (int times = ; times <= T; ++times)
{
input();
work();
}
return ;
}
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