POJ 3243 Clever Y | BSGS算法完全版

题目:

给你A,B,K

求最小的x满足A^x=B (mod K)

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题解:

如果A,C互质请参考上一篇博客

将 A^x≡B(mod C) 看作是A^x+Cy=B方便叙述与处理.

我们将方程一直除去A,C的最大公约数进行变形,最终使得A和C互质.

将方程同除d₁=gcd(A,C),得到B₁=A/d₁*A^x-1+C₁y.有可能A和C₁不互素,因此继续将方程同除d₂=gcd(A,C₁)得到B₂=A²/d₁d₂*A^i-2+C₂y.一直这样下去知道A和C_i互素.这里也能看出,若B_i不被gcd(A,C_i)整除则无解.

最终得到B_n=Aⁿ/d₁d₂...d_n*A^x-n+C_ny,并记D=Aⁿ/d₁d₂...d_n,易证明gcd(D,C_n)=1,因此存在D的逆元,可以将最后的式子变为A ^x-n≡B_nD^-1(mod C_n),此时就能求解了.

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 typedef long long ll;
 using namespace std;
 ll x,z,k;
 ll Gcd(ll x,ll y)
 {
     return y==?x:Gcd(y,x%y);
 }
 ll exGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
     if (b==) return x=,y=,a;
     ll r=exGcd(b,a%b,y,x);
     y-=a/b*x;
     return r;
 }
 ll inv(ll a,ll m)
 {
     ll x,y;
     exGcd(a,m,x,y);
     return (x%m+m)%m;
 }
 namespace Hash
 {
     const ll N=;
     const ll H=;
     struct adj
     {
     ll nxt,v,num,val;
     }e[N];
     ll  head[H],ecnt=;
     void init()
     {
     ecnt=;
     memset(head,,sizeof(head));
     }
     void insert(ll x,ll val)
     {
     ll org=x;
     x%=H;
     for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
     {
         if (e[i].num==org)
         {
         e[i].val=val;
         return ;
         }
     }
     e[++ecnt].num=org;
     e[ecnt].val=val;
     e[ecnt].nxt=head[x];
     head[x]=ecnt;
     }
     ll query(ll x)
     {
     ll org=x;
     x%=H;
     for (int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
         if (e[i].num==org) return e[i].val;
     return -;
     }
 }
 ll BSGS(ll a,ll b,ll c)
 {
     ll cnt=,G,d=;
     while ((G=Gcd(a,c))!=)
     {
     if (b%G!=) return -;
     cnt++,b/=G,c/=G;
     d=d*(a/G)%c;
     }
     b=b*inv(d,c)%c;
     Hash::init();
     ll s=sqrt(c*1.0);
     ll p=;
     for (int i=;i<s;i++)
     {
     if (p==b) return i+cnt;
     Hash::insert(p*b%c,i);
     p=p*a%c;
     }
     ll q=p,t;
     for (int i=s;i-s+<=c-;i+=s)
     {
     t=Hash::query(q);
     if (t!=-) return i-t+cnt;
     q=q*p%c;
     }
     return -;
 }
 int check()
 {
     for (ll i=,j=;i<=;i++)
     {
     if (j==k)
     {
         printf("%lld\n",i);
         return ;
     }
     j=j*x%z;
     }
     if (x==)
     {
     puts("No Solution");
     return ;
     }
     return ;
 }
 int main()
 {
     while (scanf("%lld%lld%lld",&x,&z,&k) && x+z+k>)
     {
     x%=z,k%=z;
     if (check()) continue;
     ll ans=BSGS(x,k,z);
     if (ans==-) puts("No Solution");
     else printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }