【洛谷】【动态规划+单调队列】P1714 切蛋糕

【题目描述：】

今天是小Z的生日，同学们为他带来了一块蛋糕。这块蛋糕是一个长方体，被用不同色彩分成了N个相同的小块，每小块都有对应的幸运值。

小Z作为寿星，自然希望吃到的第一块蛋糕的幸运值总和最大，但小Z最多又只能吃M小块(M≤N)的蛋糕。

吃东西自然就不想思考了，于是小Z把这个任务扔给了学OI的你，请你帮他从这N小块中找出连续的k块蛋糕(k≤M)，使得其上的幸运值最大。

【输入格式：】

输入文件cake.in的第一行是两个整数N,M。分别代表共有N小块蛋糕，小Z最多只能吃M小块。

第二行用空格隔开的N个整数，第i个整数Pi代表第i小块蛋糕的幸运值。

【输出格式：】

输出文件cake.out只有一行，一个整数，为小Z能够得到的最大幸运值。





[算法分析：]

如果是想f[i]跟前面的某个状态有关就错了，这不是琪露诺，可以吃完m个之后继续吃

而是只能吃m小块蛋糕，所以DP方程应该是这个样子的：$$f[i] = max{\sum_{j = 1}^{min(m,\ i) - 1} a_{i - j}} + a_i$$

\[1≤i≤n
\]

而求\(\sum a_{i - j}\)的过程可以使用前缀和优化，这样时间复杂度便从\(O(n^3)\)优化到了\(O(n^2)\)

未优化的普通DP代码：

//求max{∑a[i-j]}
int maxn = 1 << 31;
int e = min(i, m) - 1;
for(int j=1; j<=e; ++j)
    maxn = max(maxn, sum[i-1] - sum[i-j-1]);
if(maxn > maxn + a[i]) f[i-1] = maxn;
f[i] = maxn + a[i];

而对于\(N≤500000\)的数据显然\(n^2\)的复杂度是不达到要求的，

优化了求和，还可以优化求最大值的过程

线段树优化的复杂度是\(O(nlog_2n)\)显然是可以过的，但还可以用单调队列优化到\(O(n)\).

将前缀和存入单调队列，每一次都找到当前点到队首点的区间和，保证队首点值最小就能使得幸运值最大，所以队列中的元素应是从小到大排。

当队首的位置加上\(m\)之后还是无法到大点\(i\)时，就把队首\(pop\)掉.

单调队列中使用int类型表示元素的位置，要访问元素的值的话就是sum[q.front()]就好.





\([Code:]\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;

const int MAXN = 500000 + 1;

int n, m;
int a[MAXN];
int sum[MAXN], f[MAXN];

struct Node {
	int v, pos;
};

deque<int> q;

inline int read() {
	int x=0, f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9') {
		if(ch == '-') f = -1;
		ch = getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9')
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48, ch=getchar();
	return x * f;
}

int main() {
	n = read(), m = read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		a[i] = read();
		sum[i] = a[i] + sum[i - 1];
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		while(!q.empty() && sum[q.back()] > sum[i])
			q.pop_back();
		q.push_back(i);
		while(q.front()+m < i) q.pop_front();
		f[i] = sum[i] - sum[q.front()];
	}
	int ans = 1 << 31;
	for(int i=1; i<=n; ++i) ans = max(ans, f[i]);
	printf("%d\n", ans);
}