BZOJ2178: 圆的面积并（格林公式）

题面

传送门

题解

好神仙……

先给几个定义

平面单连通区域：设\(D\)是平面内一区域，若属于\(D\)内任一简单闭曲线的内部都属于\(D\)，则称\(D\)为单连通区域。通俗地说，单连通区域是没有“洞”的区域。

正方向：当\(xOy\)平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域\(D\)，并规定当一个人沿闭曲线\(L\)环行时，区域\(D\)总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域\(D\)的正方向，反之为负方向。

格林公式：设\(D\)是一个平面单连通区域，\(L\)是它取正向的轮廓线（分段光滑），\(P,Q\)在\(D\)上具有一阶连续偏导数，则有格林公式

\[\int\int\limits_D\left({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy=\oint\limits_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy
\]

关于那个\(\oint\)就是一个有方向的\(\int\)，直接当成\(\int\)看就好了

回到本题，我们令\(Q=x,P=-y\)，我们要求的东西就是

\[\int\int\limits_D1\mathrm dx\mathrm dy={1\over 2}\oint\limits_L-y\mathrm dx+x\mathrm dy
\]

这样转化之后，我们就可以把圆的面积转化成跟轮廓线有关的计算了

因为圆弧上\(x,y\)很麻烦，我们用角度来表示它

\[\begin{aligned}
\int\limits_L-y\mathrm dx+x\mathrm dy
&=\int\limits_L-(y_0+r\sin t)\mathrm d(x_0+r\cos t)+(x_0+r\cos t)\mathrm d(y_0+r\sin t)\\
&=\int\limits_L(y_0+r\sin t)(r\sin t)+(x_0+r\cos t)(r\cos t)\\
&=r\int\limits_L(y_0+r\sin t)\sin t+(x_0+r\cos t)\cos t\\
&=r\int\limits_L r+y_0\sin t+x_0\cos t\\
&=r^2t+x_0\sin t-y_0\cos t
\end{aligned}
\]

然后把圆弧的轮廓线搞出来做曲线积分，求和就可以了

顺便这样例太凉心了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inline __inline__ __attribute__((always_inline))
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int N=1005;const double Pi=acos(-1.0);
struct Point{
    int x,y;
    inline Point(){}
    inline Point(R int xx,R int yy):x(xx),y(yy){}
    inline Point operator +(const Point &b)const{return Point(x+b.x,y+b.y);}
    inline Point operator -(const Point &b)const{return Point(x-b.x,y-b.y);}
    inline bool operator <(const Point &b)const{return x<b.x||(x==b.x&&y<b.y);}
    inline bool operator ==(const Point &b)const{return x==b.x&&y==b.y;}
    inline double norm(){return sqrt(x*x+y*y);}
};
struct Cir{
    Point p;int r;
    inline bool operator <(const Cir &b)const{return p<b.p||p==b.p&&r<b.r;}
    inline bool operator ==(const Cir &b)const{return p==b.p&&r==b.r;}
    inline double oint(R double t1,R double t2){
        return r*(r*(t2-t1)+p.x*(sin(t2)-sin(t1))-p.y*(cos(t2)-cos(t1)));
    }
}c[N];
pair<double,int>st[N<<1];int n;double res;
double calc(int id){
    int top=0,cnt=0;
    fp(i,1,n)if(i!=id){
        double dis=(c[i].p-c[id].p).norm();
        if(c[id].r+dis<=c[i].r)return 0;
        if(c[i].r+dis<=c[id].r||c[i].r+c[id].r<=dis)continue;
        double del=acos((c[id].r*c[id].r+dis*dis-c[i].r*c[i].r)/(2*c[id].r*dis));
        double ang=atan2(c[i].p.y-c[id].p.y,c[i].p.x-c[id].p.x);
        double l=ang-del,r=ang+del;
        if(l<-Pi)l+=2*Pi;if(r>=Pi)r-=2*Pi;
        if(l>r)++cnt;
        st[++top]=make_pair(l,1),st[++top]=make_pair(r,-1);
    }
    st[0]=make_pair(-Pi,0),st[++top]=make_pair(Pi,0);
    sort(st+1,st+1+top);
    double res=0;
    for(R int i=1;i<=top;cnt+=st[i++].second)
        if(!cnt)res+=c[id].oint(st[i-1].first,st[i].first);
    return res;
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    fp(i,1,n)scanf("%d%d%d",&c[i].p.x,&c[i].p.y,&c[i].r);
    sort(c+1,c+1+n),n=unique(c+1,c+1+n)-c-1;
    fp(i,1,n)res+=calc(i);
    printf("%.3lf\n",res*0.5);
    return 0;
}