2018年长沙理工大学程序设计竞赛 J - 杯子

题意： 链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/96/J
一天durong同学买了一个无限长的杯子，同时买了n个球，并且标号为1，2，3......n，durong同学突然想到一个问题----如果他把n个球依次，

也就是按照1，2，3...n的顺序放进杯子里，然后在全部拿出来（注意不一定要等到全部放进去才能拿出球），并且会记录放进和拿出球的顺序，
durong想知道，要满足当第m个球进去后，杯子中此时恰好有k个球，然后仍然要把剩下的n-m个球放进去，最后杯中的球要取光，

这样的放进和拿出球的顺序有多少种，答案有可能很大，所以mod上1e9+7。

kuangbing的博客

这个题解讲的挺好的

对于n个0，m个1 的任意前缀0的个数不小于1的种数是 C(n+m,n)-C(n+m,m-1)。

卡特兰数是n = m 的特殊情况， 通项公式为 C(2 * n, n) / (n + 1)

 #include<bits/stdc++.h>
 #define LL long long
 #define fi first
 #define se second
 #define mk make_pair
 #define pii pair<int,int>
 using namespace std;

 const int N=2e6+;
 const int M=1e4+;
 const int inf=0x3f3f3f3f;
 const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
 const int mod=1e9 + ;

 int n, m, k;
 LL f[N], inv[N];

 LL fastPow(LL a, LL b) {
     LL ans = ;
     while(b) {
         if(b & ) ans = ans * a % mod;
         a = a * a % mod; b >>= ;
     }
     return ans;
 }
 void init() {
     f[] = ;
     for(int i = ; i < N; i++) {
         f[i] = f[i - ] * i % mod;
     }
     for(int i = N - ; i >= ; i--)
         inv[i] = fastPow(f[i], mod - );

 }

 LL C(int n, int m) {
     if(n < m) return ;
     return f[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
 }

 LL getCatalan(int n, int m) {
    return (C(n + m, n) - C(n + m, m - ) + mod) % mod;
 }

 int main() {
     init();
     int T; scanf("%d", &T);
     while(T--) {
         scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
         if(m > n || k > m) {
             puts("");
             continue;
         }
         LL ret1 = getCatalan(m - , m - k);
         LL ret2 = getCatalan(n - (m - k), n - m);
         printf("%lld\n", ret1 * ret2 % mod);
     }
     return ;
 }
 /*
 */