LOJ#6354. 「CodePlus 2018 4 月赛」最短路[最短路优化建图]

题意

一个 \(n\) 个点的完全图，两点之间的边权为 \((i\ xor\ j)*C\) ,同时有 \(m\) 条额外单向路径，问从 \(S\) 到 \(T\) 的最短路。

\(n\leq 10^5,\ m\leq 5\times 10^5,C\leq 100\).

分析

• 如果没有额外的边，会直接从 \(S\) 到 \(T\) ，因为如果每个二进制位 \(i\) 不同那么一定会有一步走 \((1<< i)*C\)，
  
  如果相同也没有必要多走几个点而可能多一部分路程。

• 如果多了一些特殊边，最后的决策一定是从某个点直接到另一个点然后经过一条特殊边，再重复这个过程直到 \(T\).

• 按照这样的方式建图跑最短路就可以得到解，但是边数太多考虑优化建图。

• 发现 \(A \rightarrow B\) 可以写成 $A \rightarrow (A\ and\ B) \rightarrow B $,因为共有的部分不取贡献。
  
  于是每个点只需要向最近的一层，也就是与之相差一个二进制位的点连边即可。

• 边数 \(nlogn\) ，总时间复杂度为 \(O(nlogn)\) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].lst,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))	{if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=1e5 + 7;
int edc,n,C,A,B,m;
int head[N],vis[N],dis[N];
struct edge{
	int lst,to,c;
	edge(){}edge(int lst,int to,int c):lst(lst),to(to),c(c){}
}e[N*30];
void Add(int a,int b,int c){
	e[++edc]=edge(head[a],b,c),head[a]=edc;
}
struct data{
	int u,dis;
	data(){}data(int u,int dis):u(u),dis(dis){}
	bool operator <(const data &rhs)const{
		return rhs.dis<dis;
	}
};
priority_queue<data>Q;
void dijk(){
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[A]=0;
	Q.push(data(A,dis[A]));
	while(!Q.empty()){
		int u=Q.top().u;Q.pop();
		if(vis[u]) continue;vis[u]=1;
		go(u)if(dis[u]+e[i].c<dis[v]){
			dis[v]=dis[u]+e[i].c;
			Q.push(data(v,dis[v]));
		}
	}
	printf("%d\n",dis[B]);
}
int main(){
	n=gi(),m=gi(),C=gi();
	rep(i,1,n)
	rep(j,0,17)if(i>>j&1) Add(i,i^(1<<j),(1<<j)*C),Add(i^(1<<j),i,(1<<j)*C);
	rep(i,1,m){
		int a=gi(),b=gi(),c=gi();
		Add(a,b,c);
	}
	A=gi(),B=gi();
	dijk();
	return 0;
}