洛谷P2351 [SDOi2012]吊灯 【数学】

题目

Alice家里有一盏很大的吊灯。所谓吊灯，就是由很多个灯泡组成。只有一个灯泡是挂在天花板上的，剩下的灯泡都是挂在其他的灯泡上的。也就是说，整个吊灯实际上类似于[b]一棵树[/b]。其中编号为 1 的灯泡是挂在天花板上的，剩下的灯泡都是挂在编号小于自己的灯泡上的。

现在，Alice想要办一场派对，她想改造一下这盏吊灯，将灯泡换成不同的颜色。她希望相同颜色的灯泡都是相连的，并且每一种颜色的灯泡个数都是相同的。

Alice希望你能告诉她，总共有哪些方案呢？

Alice是一个贪心的孩子，如果她发现方案不够多，或者太多了，就会很不高兴，于是她会尝试调整。对于编号为[b]x(x≠1)[/b]的灯泡，如果原来是挂在编号为[b]f[x][/b]的灯泡上，那么Alice会把第x个灯泡挂到[b]第 ( f[x] + 19940105 ) mod (x-1) + 1 个[/b]灯泡上。

由于九在古汉语中表示极大的数，于是，[b][color=#FF0000]Alice决定只调整9次[/color][/b]。对于原始状态和每一次调整过的状态，Alice希望你依次告诉她每种状态下有哪些方案。

输入格式

第一行一个整数n，表示灯泡的数量。

接下来一行，有n-1个整数Ui，第i个数字表示第i+1个灯泡挂在了Ui个的下面。保证编号为1的灯泡是挂在天花板上的。数字之间用逗号（西文标点）" , "隔开且最后一个数字后面没有逗号。

输出格式

对于10种状态下的方案，需要按照顺序依次输出。

对于每一种状态，需要先输出单独的一行，表示状态编号，如样例所示。

之后若干行，每行1个整数，表示划分方案中每种颜色的灯泡个数。

[b]按升序输出。[/b]

输入样例

6

1,2,3,4,5

输出样例

Case #1:

1

2

3

6

Case #2:

1

2

6

Case #3:

1

3

6

Case #4:

1

3

6

Case #5:

1

3

6

Case #6:

1

2

6

Case #7:

1

2

3

6

Case #8:

1

6

Case #9:

1

2

6

Case #10:

1

3

6

提示

对于20%的数据，n<=3*10^3。

对于40%的数据，n<=5*10^4。

对于50%的数据，n<=1*10^5。

对于60%的数据，n<=3*10^5。

对于70%的数据，n<=7*10^5。

对于100%的数据，n<=1.2*10^6。

题解

题意是要把树分成等份的块，有哪些分法合法

枚举块的大小x

首先一定是n的因子，再者一定存在\(\frac{n}{x}\)个节点，其子树大小是x的倍数

证明：

对于大小是x的倍数的子树，一定能从根节点开始分出一个大小为x的块

如果其子孙中存在大小同样是x的倍数，那么无视该子孙，剩余的节点连续且数量同样是x的倍数，同样可以分出一个大小为x的块

故一个大小为x的倍数的子树可以在不影响其它大小为x的倍数的子树的情况下分出一个大小为x的块

由因为有\(\frac{n}{x}\)个这样的子树，故可以将n分为\(\frac{n}{x}\)个大小为x的块

证毕

由于每次儿子一定比父亲大，没必要dfs构树，可以直接逆向枚举构树就可以了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 1200005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}
int f[maxn],siz[maxn],bac[maxn],n;
inline bool check(int x){
	int tot = 0;
	for (int i = x; i <= n; i += x) tot += bac[i];
	return tot >= n / x;
}
int main(){
	n = read();
	for (int i = 2; i <= n; i++) f[i] = read();
	for (int T = 1; T <= 10; T++){
		printf("Case #%d:\n",T);
		for (int i = 1; i <= n; i++) bac[i] = 0,siz[i] = 1;
		for (int i = n; i; i--) siz[f[i]] += siz[i],bac[siz[i]]++;
		for (int i = 1; i <= n; i++){
			if (n % i == 0 && check(i))
				printf("%d\n",i);
		}
		if (T < 10)
			for (int i = 2; i <= n; i++) f[i] = (f[i] + 19940105) % (i - 1) + 1;
	}
	return 0;
}