[USACO11NOV]二进制数独Binary Sudoku
这道题是很好的一道IDA*练习题。
首先我们先确定搜索的框架,我们要求的是用最少的修改次数使得所有的行,列,宫之内都有偶数个1,最直观的想法显然是先预处理出有奇数个1的行,列,宫,之后枚举每一个点,如果这个点在奇数个1的行/列/宫之中就开始修改,继续搜索。修改整个数独之后判定,回溯。
这个正确性是没问题的,但是你难以通过有效的手段减少搜索树大小(比如从1多的开始搜?),这样肯定会超时(想想靶型数独)。
于是我们引入新的操作:ID(迭代加深)搜索!
ID的原理是,有可能搜索树某些分枝非常的深,但里面并没有你要的解,如果你率先进入的话,就会浪费大量的时间在里面。有可能解的深度并不是很大,所以我们可以每次设定一个搜索的深度,如果超过这个深度就返回,之后继续加大深度搜索,所以叫迭代加深。
但是这样我们依然可能很慢,所以我们再加上一个,A*算法!
A*算法简单来说,就是设计一个估价函数,估计未来的搜索情况,选择当前估计最好的一个搜索方向去搜索。估计的值越接近实际值,搜索效率越高。估价函数有一个原则,就是估计的值不可以大于实际值,否则就会导致得到错误的答案。(因为估计值过大掩盖了真实的解)而且我们无需担心正确性,因为A*算法只是优先进入分支,在进行一段时间搜索之后,原来被忽略的分支又将进入计算。A*的估价函数如果一直是0,那么他就相当于是一个无优化的搜索,所以说A*算法的效率一般来讲是高于普通搜索的,至于高多少就要看设计的估价函数的高明之处了。
A*的实现比较复杂,但与ID结合起来成为IDA*就比较好实现了,它其实可以被视为剪枝,当当前的值加上估价值比当前的最大深度更大,就直接返回,相当于剪枝了。在这道题中,我们要做的就是从小到大枚举搜索深度(就是修改的次数),在每次设计一个估价函数,根据上面的原则,我们修改之后,至多需要max有奇数个1的(行,列,宫)次修改,每次估价函数设为三者最大值即可。
这样搜索快到飞起,也有可能是本题数据比较水……
看一下代码。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n') using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = ;
const int INF = ; int read()
{
int ans = ,op = ;
char ch = getchar();
while(ch < '' || ch > '')
{
if(ch == '-') op = -;
ch = getchar();
}
while(ch >= '' && ch <= '')
{
ans *= ;
ans += ch - '';
ch = getchar();
}
return ans * op;
} int b,c,r,row[],col[],blo[],maxd;
char s[]; int B(int x,int y)
{
return ((x - ) / * + (y - ) / ) + ;
} int h()
{
return max(r,max(b,c));
} int cal(int x)
{
return (!x) ? - : ;
} void change(int i,int j)
{
row[i] ^= ,col[j] ^= ,blo[B(i,j)] ^= ;
r += cal(row[i]),c += cal(col[j]),b += cal(blo[B(i,j)]);
} void dfs(int x,int y,int d)
{
if(d > maxd) return;
if(x == && y == )
{
rep(i,,) if(row[i] | col[i] | blo[i]) return;
printf("%d\n",maxd),exit();
}
if(row[x] | col[y] | blo[B(x,y)])
{
change(x,y);
if(d + + h() <= maxd) (y == ) ? dfs(x+,,d+) : dfs(x,y+,d+);
change(x,y);
if(d + h() <= maxd) (y == ) ? dfs(x+,,d) : dfs(x,y+,d);
}
else (y == ) ? dfs(x+,,d) : dfs(x,y+,d);
} int main()
{
rep(i,,)
{
scanf("%s",s+);
rep(j,,) if(s[j] == '') change(i,j);
}
for(maxd = ;;maxd++) dfs(,,);
return ;
}
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