Spherical Harmonics Lighting

【转自：http://www.cnblogs.com/daniagger/archive/2012/05/29/2524133.html】

1、背景知识

1.1 光照表示

之前我们都只考虑光源点和物体表面点的光照作用，而现在，我们考虑物体表面点延伸的微型平面，这个微型平面作为半球形的底部，因此光照射进来的范围就是整个半球形，这也是BRDF的基础。

1.2 数据压缩

对于压缩信号来说，很多压缩技术基于这样一个思路：使用不同基函数的不同组合来组成一个更为复杂的数字信号表示。

保存数字信号的最繁琐方法是保存每一个数据点，然而一个复杂的信号可能有成千上万个点，所以需要找到方法来压缩。对于每一个基函数，我们用频率(frequency),振幅(amplitude)和相位(phase)来表示，这三个数被称为系数(coefficient)，这样就大大减小了数据量。

在现实生活中，数字信号并不能很明显的表示成多个基函数的组合，很多例子中，系数的个数和原始数据点的个数相差无几，所以要找寻其他压缩方法。人们要寻找信号中那些信息是最为重要的，有些信息可能是噪声，这些信息需要被剔除出去。

基函数是这样一种函数，可以被裁剪和组合，来模拟任何一种数学函数。裁剪因子通常被称为系数(coefficient)。举个例子，如果要通过基函数组B_i(x)来模拟函数f(x)，c_i是对应的系数。

公式如下图：

这也就是傅里叶变换。

1.3 光照信息的压缩

对于diffuse lighting来说，高频率的部分需要被剔除。

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2、SH的定义

Spherical harmonics是可以重构任何函数的基函数，研究二维函数的单位球。

SH是定义在单位球表面的基函数，表示在球面坐标下。

球坐标系

其中r=1。

SH的一般形式是

实际形式，也就是接下来会用到的形式是

最终形式是

公式中的项：

P_l^m是勒让德多项式，定义在[-1,1]范围内，递归式是

K_l^m是用来将函数规范化的裁剪因子，定义式是

SH的简化形式为(二维变一维)

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3、构造

由SH基函数模拟的函数是

其中

上面的函数是原始函数的限制带宽版，原始函数表示为

使用SH的简化形式，则模拟的函数为

使用Monte Carlo积分算法，可以求出系数为

对于用SH构造的函数，你需要将单位球划分为n x n个样品，对于每一个系数，遍历所有的样品，应用上面的公式。最终可以得到所有系数的表达式。

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4、SH的性质

4.1 正交性

4.2

4.3

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5、SH应用到光照上

5.1 光照方程

最常用的光照方程是

L_o是表面顶点x在w方向上发出的光照度，其中w'是入射光线，由自发光部分(L_e)和反射部分(L_r)组成，L_r的积分是对半球范围内所有的光线进行积分。

通过使用differential solid angle，光照方程可表示为

反射分量是对S中所有点的积分，入射光线从x’到x，V是x和x’之间可见度方程，G是几何项。V返回布尔值(如果x和x’相互可见，则返回1)，几何项则依赖于表面点x和x’之间的几何关系。

该积分不能实时计算出来，所以需要预处理这个积分，利用性质2。

预处理步骤：

a、将入射光线投影到SH基上。入射光线需要表示成球坐标方程。

b、对于物体上的每一个点，将BRDF项、可见项、几何项的乘积投影到SH基上。该乘积也被当做转移方程。

实时积分项可以通过计算转移方程的SH系数和入射光线的SH系数的点积而得到，即利用性质2，将入射光线当成复合函数，BRDF项可见项几何项的乘积当做另一个复合函数，原始积分也就是两个复合函数乘积的积分。

同时，取样点分布在n x n的方形网格上，投影到球坐标系

现在我们需要简化光照方程，我们不考虑自发光，并且反射光线均匀分布在所有方向，BRDF是一个常量，最终我们得到

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6、SH Diffuse Lighting

不考虑阴影的情况下(V项恒为1)，特定点的diffuse lighting为

现在需要求入射光线的SH投影和cosine项(即转移方程)的SH投影，两者都用Monte Carlo积分法，这些都在预处理步完成。运行时，特定点的光照计算使用上述公式(将两个SH系数求点积)。

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7、SH Diffuse Shadowed Lighting

现在需要考虑V项

新的转移方程变成了

要确定V项，需要从当前顶点追踪射线到场景中，如果射线和一个三角面片相交，则光线被阻挡。

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8、SH Diffuse Shadowed Inter-Reflected Lighting

现在，不仅要考虑从光源发出来的光线，还要考虑在场景中互相作用的光线。也就是全局光照。简化了的光照方程如下