状压dp,就是把动态规划之中的一个个状态用二进制表示,主要运用位运算。

这里有一道例题:蓝书P639猛兽军团1 [SCOI2005]互不侵犯

题目:

题目描述

在N×N的棋盘里面放K个国王,使他们互不攻击,共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右,以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子,共8个格子。

注:数据有加强(//)
输入输出格式
输入格式: 只有一行,包含两个数N,K ( <=N <=, <= K <= N * N) 输出格式: 所得的方案数 输入输出样例
输入样例#: 复制 输出样例#: 复制

直接上代码,注释很详细

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define N 15
#define M 110
#define MAX 550
using namespace std;
/*
见蓝书641页
*/
int s[MAX]; // 记录一行可能的状态
int num[MAX]; //s数组对应每个状态放了多少个猛兽
int states;
long long f[N][M][MAX]; //f[i][j][k]第i行状态为k,放了j个猛兽
int n,m;
void init_state() //预处理s,num数组,代表一行之内所有的可能性
{
states = ;
for(int i = ; i < ( << n); i++) //注意,这里是枚举状态
{
if(i & (i << )) //处理一排上的冲突情况
continue;
int t = i;
num[states] = ;
while(t)
{
num[states] += (t & );
t = t >> ;
}
s[states++] = i; //保存状态
}
}
void dp()
{
int a,c,mm,b,cc;
long long ans;
memset(f,,sizeof(f));
//单独算第一行和最后一行
for(int i = ; i < states; i++)
{
int j = num[i];
if(j <= m) //不能超过总数
f[][j][i]++;
}
for(int i = ; i < n; i++) //2~n - 1行
{
for(int j = ; j <= m; j++) // 到第i行,一共放了j个猛兽
{
for(a = ; a < states; a++) //i行状态
{
c = num[a];
if(c > j)
continue;
mm = j - c;//前i - 1行的总数
for(int b = ; b < states; b++) //枚举i-1行
{
cc = num[b];
if(cc > mm)
continue;
if(s[a] & s[b]) //上下有攻击
continue;
if(s[a] & (s[b] << )) //对角有攻击
continue;
if(s[b] & s[a] << ) // 同上
continue;
f[i][j][a] += f[i - ][mm][b];
}
}
}
}
ans = ;
for(a = ; a < states; a++) //最后一行
{
c = num[a];
if(c > m)
continue;
int j = m - c;
for(int b = ; b < states; b++) //枚举n-1行
{
cc = num[b];
if(cc > j)
continue;
if(s[a] & s[b]) //上下有攻击
continue;
if(s[a] & (s[b] << )) //对角有攻击
continue;
if(s[b] & s[a] << ) // 同上
continue;
f[n][m][a] += f[n - ][j][b];
}
ans += f[n][m][a];
}
printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
init_state();
dp();
return ;
}

上面这个代码过于复杂,不好理解,我们换一种写法:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=<<;
long long g[M],h[M],f[][M][],n,k,tot=;
int main()
{
cin>>n>>k;
memset(f,,sizeof(f));
for(int x=; x < (<<n); x++) //第一排单独处理
{
if(!(x & (x>>)) && !(x&(x<<)))g[x] = ;//处理g数组,同一排左右不矛盾
int w = x;
while(w)
{
if(w % )h[x]++;
w /= ;
}
if(g[x])
f[][x][h[x]] = ;
}
for(int x = ; x <= n; x++)
{
for(int y = ; y < (<<n); y++)
{
if(g[y])
{
for(int z = ; z < (<<n); z++)
{
if(g[z] && !(y&z) && !(y & (z>>)) && !(y&(z<<))) //只用考虑该排与上一排
{
for(int w = ; w + h[z] <= k; w++)
f[x][z][w + h[z]] += f[x - ][y][w]; //w枚举总共放的国王的个数
}
}
}
}
}
for(int y=; y<(<<n); y++)tot+=f[n][y][k];
cout<<tot;
return ;
}

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