O'Stolz 定理及其应用

1. 基本形式

对于 ⋆∞（分母为无穷大，分子无要求），设两数列 an,bn，满足：

• bn 严格单调递增；
• limn→∞bn=∞

如果有 limn→∞an+1−anbn+1−bn=L（L 为有限实数），则：

limn→∞anbn=limn→∞an+1−anbn+1−bn=L

2. 等价形式

3. 简单应用

算法的时间复杂度相关的分析证明中，常见的一个结论是：

limn→∞logn!nlogn=1

证明：

limn→∞logn!nlogn===limn→∞log(n+1)!−logn!(n+1)log(n+1)−nlognlimn→∞log(n+1)nlog(1+1n)+log(n+1)limn→∞log(n+1)1+log(n+1)=1