欧拉回路&欧拉路径学习笔记
基础性质(用来判定):
1.无向图欧拉回路没有奇数点 (有向图所有点入度等于出度)
2.无向图欧拉路径只有两个奇数点 (有向图有一个顶点入度比出度大1,有一个顶点出度比入度大1,其他的全相等)
3.图连通
找欧拉回路(找不到时找到欧拉路径)算法\(Hierholzer\):
STEP0:判连通性(并查集||dfs||tarjan)
STEP1: 判断奇数点个数(即是否本图有欧拉回路),并寻找起点,如果有奇数点那么他们一定其中一个是起点,如果,没有奇数点则可以随意指定起点
STEP2:从起点开始dfs,对于从u到v点一条边,删除e(u,v)这条边,如果v没有出边,将v入栈,递归到v
STEP3:倒序出输序列
注释:因为欧拉回路在一张图中有很多个,题目常常会要求字典序,所以我会用multiset存图
例题:
1.lougu1341
code:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<set>
using namespace std;
const int MAXX=10000;
multiset<int>to[MAXX];
int f[MAXX],deg[MAXX],q[MAXX];
int n,tot,ans,cnt,s=-1;
bool vis[MAXX],num[MAXX],flag;
inline int find(int x){
if(f[x]==x)return x;
else return f[x]=find(f[x]);
}
inline void dfs(int x){
for(set<int>:: iterator it=to[x].begin();it!=to[x].end();it=to[x].begin()){
int y=*it;
to[x].erase(it);
to[y].erase(to[y].find(x));
dfs(y);
}
q[++tot]=x;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=0;i<=99;++i)f[i]=i;
for(int i=1;i<=n;++i){
char a,b;
int x,y;
cin>>a>>b;
x=a-'A';y=b-'A';
int u=find(x);
int v=find(y);
f[u]=v;
vis[x]=1;vis[y]=1;
deg[x]++;deg[y]++;
to[x].insert(y);
to[y].insert(x);
}
for(int i=0;i<=99;++i){
if(!vis[i])continue;
num[find(i)]=1;
}
for(int i=0;i<=99;++i){
if(!vis[i])continue;
ans+=num[i];
if(s==-1)s=i;
if(deg[i]&1){
cnt++;
if(flag)continue;
s=i;
flag=1;
}
}
if((cnt!=0&&cnt!=2)||ans>1){
cout<<"No Solution"<<endl;
return 0;
}
dfs(s);
for(int i=tot;i>=1;--i){
char ss='A'+q[i];
cout<<ss;
}
return 0;
}
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