Intersection between 2d conic in OpenCASCADE

eryar@163.com

Abstract. OpenCASCADE provides the algorithm to implement of the intersection between two 2d conic curve. The conic is defined by its implicit quadaratic equation, so the intersection problem is become a polynomial roots finding problem. The paper focus on the two conic curve intersection algorithm implementation.

Key Words. 2d conic intersection, conic equation,

1.Introduction

高中的时候学习了直线Line、圆Circle、圆锥曲线Conic(椭圆Ellipse、双曲线Hyperbola和抛物线parabola)等二维曲线的方程及特性,也可以对他们之间的相交情况进行计算。如何编程实现任意两个圆锥曲线相交呢?本文通过对OpenCASCADE中二维圆锥曲线相交代码的分析来理解其实现原理。

Figure 1. 圆锥曲线相交

2.Conic Implicit Equation

圆锥曲线一般的代数表示方法为:

OpenCASCADE中使用类IntAna2d_Conic来表示圆锥曲线的代数方程。并提供了将二维曲线(直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线)转换成代数方程的方法,相关代码如下所示:

IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Lin2d& L) {

  a = 0.0;
b = 0.0;
c = 0.0;
L.Coefficients(d,e,f);
f = *f;
} IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Circ2d& C) { C.Coefficients(a,b,c,d,e,f);
} IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Elips2d& E) { E.Coefficients(a,b,c,d,e,f);
} IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Parab2d& P) {
P.Coefficients(a,b,c,d,e,f);
} IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Hypr2d& H) {
H.Coefficients(a,b,c,d,e,f);
}

3.Intersection between Circle and Conic

当对二维圆和圆锥曲线进行求交时,先得到圆的半径和圆锥曲线的一般式方程。将圆用参数方程表示并代入圆锥曲线的一般式方程中得到:


所以圆和圆锥曲线求交问题转换为三角函数方程求解的问题。OpenCASCADE的math包中提供了类math_TrigonometricFunctionRoots来求解如下三角函数方程的根:

直接将对应的系数传入即可对如上形式的三角函数方程进行求根。OpenCASCADE中圆和圆锥曲线求交的代码如下所示:

void IntAna2d_AnaIntersection::Perform(const gp_Circ2d& Circle,
const IntAna2d_Conic& Conic)
{
Standard_Boolean CIsDirect = Circle.IsDirect();
Standard_Real A,B,C,D,E,F;
Standard_Real pcc,pss,p2sc,pc,ps,pcte;
Standard_Real radius=Circle.Radius();
Standard_Real radius_P2=radius*radius;
Standard_Integer i;
Standard_Real tx,ty,S; done = Standard_False;
nbp = ;
para = Standard_False;
empt = Standard_False;
iden = Standard_False; gp_Ax2d Axe_rep(Circle.XAxis()); Conic.Coefficients(A,B,C,D,E,F);
Conic.NewCoefficients(A,B,C,D,E,F,Axe_rep); // Parametre a avec x=Radius Cos(a) et y=Radius Sin(a) pss = B*radius_P2;
pcc = A*radius_P2 - pss; // COS ^2
p2sc =C*radius_P2; // 2 SIN COS
pc = 2.0*D*radius; // COS
ps = 2.0*E*radius; // SIN
pcte= F + pss; // math_TrigonometricFunctionRoots Sol(pcc,p2sc,pc,ps,pcte,0.0,2.0*M_PI); if(!Sol.IsDone()) {
cout << "\n\nmath_TrigonometricFunctionRoots -> NotDone\n\n"<<endl;
done=Standard_False;
return;
}
else {
if(Sol.InfiniteRoots()) {
iden=Standard_True;
done=Standard_True;
return;
}
nbp=Sol.NbSolutions();
for(i=;i<=nbp;i++) {
S = Sol.Value(i);
tx= radius*Cos(S);
ty= radius*Sin(S);
Coord_Ancien_Repere(tx,ty,Axe_rep);
if(!CIsDirect)
S = M_PI+M_PI-S;
lpnt[i-].SetValue(tx,ty,S);
}
Traitement_Points_Confondus(nbp,lpnt);
}
done=Standard_True;
}

上述代码的实现过程如下:先计算出圆锥曲线在圆的坐标系下的一般式方程的系数,再用圆的参数方程代入圆锥曲线的一般式将二元二次方程转换成一元三角函数方程,最后对三角函数方程进行求解。

 
Figure 2. 圆及其参数方程

4.Intersection between Ellipse and Conic

二维椭圆与圆锥曲线求交的实现与圆的实现类似,唯一不同的就是椭圆的参数方程与圆的参数稍有不同。


依然使用椭圆的参数方程将圆锥曲线的二元二次方程化为一元的三角函数方程,再对三角函数方程进行求解。相关代码如下所示:

void IntAna2d_AnaIntersection::Perform(const gp_Elips2d& Elips,
const IntAna2d_Conic& Conic)
{
Standard_Boolean EIsDirect = Elips.IsDirect();
Standard_Real A,B,C,D,E,F;
Standard_Real pcte,ps,pc,p2sc,pcc,pss;
Standard_Real minor_radius=Elips.MinorRadius();
Standard_Real major_radius=Elips.MajorRadius();
Standard_Integer i;
Standard_Real tx,ty,S; done = Standard_False;
nbp = ;
para = Standard_False;
iden = Standard_False;
empt = Standard_False; gp_Ax2d Axe_rep(Elips.XAxis()); Conic.Coefficients(A,B,C,D,E,F);
Conic.NewCoefficients(A,B,C,D,E,F,Axe_rep); // Parametre : a avec x=MajorRadius Cos(a) et y=MinorRadius Sin(a) pss= B*minor_radius*minor_radius; // SIN ^2
pcc= A*major_radius*major_radius-pss; // COS ^2
p2sc=C*major_radius*minor_radius; // 2 SIN COS
pc= 2.0*D*major_radius; // COS
ps= 2.0*E*minor_radius; // SIN
pcte=F+pss; // math_TrigonometricFunctionRoots Sol(pcc,p2sc,pc,ps,pcte,0.0,2.0*M_PI); if (!Sol.IsDone()) {
done=Standard_False;
return;
}
else {
if(Sol.InfiniteRoots()) {
iden=Standard_True;
done=Standard_True;
return;
}
nbp=Sol.NbSolutions();
for(i=;i<=nbp;i++) {
S = Sol.Value(i);
tx=major_radius*Cos(S);
ty=minor_radius*Sin(S);
Coord_Ancien_Repere(tx,ty,Axe_rep);
if(!EIsDirect)
S = M_PI+M_PI-S;
lpnt[i-].SetValue(tx,ty,S);
}
Traitement_Points_Confondus(nbp,lpnt);
}
done = Standard_True;
}

 

 

5.Intersection between Parabola and Conic

将抛物线Parabola的标准方程代入圆锥曲线的一般式方程可将二元二次方程化成一元四次方程:

再对这个一元四次方程进行求解,相关代码如下所示:

void IntAna2d_AnaIntersection::Perform(const gp_Parab2d& P,
const IntAna2d_Conic& Conic)
{
Standard_Boolean PIsDirect = P.IsDirect();
Standard_Real A,B,C,D,E,F;
Standard_Real px4,px3,px2,px1,px0;
Standard_Integer i;
Standard_Real tx,ty,S;
Standard_Real un_sur_2p=0.5/(P.Parameter());
gp_Ax2d Axe_rep(P.MirrorAxis()); done = Standard_False;
nbp = ;
para = Standard_False;
empt = Standard_False;
iden = Standard_False; Conic.Coefficients(A,B,C,D,E,F);
Conic.NewCoefficients(A,B,C,D,E,F,Axe_rep); //-------- 'Parametre' y avec y=y x=y^2/(2 p) px0=F;
px1=E+E;
px2=B + un_sur_2p*(D+D);
px3=(C+C)*un_sur_2p;
px4=A*(un_sur_2p*un_sur_2p); MyDirectPolynomialRoots Sol(px4,px3,px2,px1,px0); if(!Sol.IsDone()) {
done=Standard_False;
}
else {
if(Sol.InfiniteRoots()) {
iden=Standard_True;
done=Standard_True;
}
nbp=Sol.NbSolutions();
for(i=;i<=nbp;i++) {
S = Sol.Value(i);
tx=un_sur_2p*S*S;
ty=S;
Coord_Ancien_Repere(tx,ty,Axe_rep);
if(!PIsDirect)
S =-S;
lpnt[i-].SetValue(tx,ty,S);
}
Traitement_Points_Confondus(nbp,lpnt);
}
done=Standard_True;
}

 

6.Conclusion

圆(椭圆)与圆锥曲线相交,将圆(椭圆)的参数方程代入圆锥曲线的一般式,将圆锥曲线方程化为三角函数方程,再对三角函数方程进行求解得到交点。

抛物线与圆锥曲线相交,将抛物线方程代入圆锥曲线的一般式,将圆锥曲线方程化为一元四次方程,再对方程进行求解得到交点。

综上所述,二维圆锥曲线相交的处理都是利用圆锥曲线的一般式与相应的参数方程化为一元函数方程,再对方程进行求解。

7.References

1. 人民教育出版社中学数学室. 数学第二册上. 人民教育出版社. 2000

2. 同济大学数学教研室. 高等数学. 高等教育出版社. 1996

3. 易大义, 沈云宝, 李有法. 计算方法. 浙江大学出版社. 2002

4. 李原, 张开富, 余剑峰. 计算机辅助几何设计技术及应用. 西北工业大学出版社. 2007

5. 丘维声. 解析几何. 北京大学出版社. 1996

Intersection between 2d conic in OpenCASCADE的更多相关文章

  1. Intersection between a 2d line and a conic in OpenCASCADE

    Intersection between a 2d line and a conic in OpenCASCADE eryar@163.com Abstract. OpenCASCADE provid ...

  2. OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Hyperbola

    OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Hyperbola eryar@163.com Abstract. Rational Bezier Curve can repr ...

  3. OpenCASCADE 3 Planes Intersection

    OpenCASCADE 3 Planes Intersection eryar@163.com Abstract. OpenCASCADE provides the algorithm to sear ...

  4. Game Physics Cookbook (Gabor Szauer 著)

    Chapter1: Vectors Chapter2: Matrices Chapter3: Matrix Transformations Chapter4: 2D Primitive Shapes ...

  5. Two analytical 2d line intersection in OpenCASCADE

    Two analytical 2d line intersection in OpenCASCADE eryar@163.com Abstract. OpenCASCADE geometric too ...

  6. OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Circle

    OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Circle eryar@163.com Abstract. The conic sections and circles pl ...

  7. OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Parabola

    OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Parabola eryar@163.com Abstract. Rational Bezier Curve can repre ...

  8. OpenCASCADE BRepMesh - 2D Delaunay Triangulation

    OpenCASCADE BRepMesh - 2D Delaunay Triangulation eryar@163.com Abstract. OpenCASCADE package BRepMes ...

  9. Qt with OpenCascade

    Qt with OpenCascade 摘要Abstract:详细介绍了如何在Qt中使用OpenCascade. 关键字Key Words:Qt.OpenCascade 一.引言 Introducti ...

随机推荐

  1. FZOJ--2214--Knapsack problem(背包)

    Problem 2214 Knapsack problem Accept: 5    Submit: 8 Time Limit: 3000 mSec    Memory Limit : 32768 K ...

  2. C# Hook

    C# Hook原理及EasyHook简易教程 前言 在说C# Hook之前,我们先来说说什么是Hook技术.相信大家都接触过外挂,不管是修改游戏客户端的也好,盗取密码的也罢,它们都是如何实现的呢? 实 ...

  3. [JZOJ4274] [NOIP2015模拟10.28B组] 终章-剑之魂 解题报告(二进制)

    Description [背景介绍]古堡,暗鸦,斜阳,和深渊……等了三年,我独自一人,终于来到了这里……“终焉的试炼吗?就在这里吗?”我自言自语道.“终焉的试炼啊!就在这里啊!”我再一次自言自语道.“ ...

  4. A string is a sequence

    A string is a sequence of characters. You can access the characters one at a time with the bracket o ...

  5. 为什么在input中加了display:inline;再加宽,还有作用?

    以前一直一位input是个行内元素,但是,行内元素的特性就是没有宽高的概念,元素多高,多宽,全凭内容撑起来的. 但是今天写了个demo,用chrome控制台显示:display:inline-bloc ...

  6. AngularJs轻松入门(五)过滤器

    在前面几节里我们已经接触过AngularJs的表达式,表达式的作用是向视图中输出字面量或$scope对象中的属性值.在输出之前我们可以通过过滤器来格式化输出的数据. 过滤器的使用非常简单,我们看一下下 ...

  7. PostgreSQL Replication之第三章 理解即时恢复(4)

    3.4 重放事务日志 一旦我们创建了一个我们自己的初始基础备份,我们可以收集数据库创建的XLOG.当时间到时,我们可以使用所有这些XLOG 文件并执行我们所期望的恢复进程.这就像本节描述的一样工作. ...

  8. ES6中includes、startsWith、endsWith

    es6新增includes:返回布尔值,表示是否找到字符串.startsWith:返回布尔值,表示字符串是否在源字符串的头部位置.endsWith:返回布尔值,表示参数字符串是否在源字符串尾部. va ...

  9. 共用体 union

    共用体是一种数据格式,能够存储不同的数据类型,但只能同时存储其中的一种类型. union one4all { int int_val; double double_val; long long_val ...

  10. JVM监控工具介绍jstack, jconsole, jinfo, jmap, jdb, jstat(复制)

    jstack -- 如果java程序崩溃生成core文件,jstack工具可以用来获得core文件的java stack和native stack的信息,从而可以轻松地知道java程序是如何崩溃和在程 ...