luoguP2822-组合数问题(基础DP)
题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822
题意:输入T和k,有T组询问。每组询问输入n、m,求C(i,j)能模k的个数(0<=i<=n,0<=j<=min(i,m))。
思路:首先需要离线操作,因为n<=2000,我们可以把所有可能的n,m的结果全求出来。用dp[i][j]表示C(x,y)能模k的个数(0<=x<=i,0<=y<=min(x,m)),f[i][j]表示C(i,y)能模k的个数(0<=y<=min(i,m)),C[i][j]表示组合数C(i,j)能否整除k,若能,值为0,否则不为0。
则有如下状态转移方程:
C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%k
f[i][j]=f[i][j-1]+(C[i][j]==0)
dp[i][j]=dp[i-1][j]+f[i][j]
但是要注意边界的特殊情况。
AC代码:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std; const int maxn=; int dp[maxn][maxn],f[maxn][maxn],C[maxn][maxn];
int T,k,n,m; void init(){
C[][]=%k;
for(int i=;i<=;++i){
C[i][]=%k;
for(int j=;j<=i;++j)
C[i][j]=(C[i-][j-]+C[i-][j])%k;
} f[][]=(C[][]==);
for(int i=;i<=;++i){
f[i][]=(C[i][]%k==);
for(int j=;j<=i;++j)
f[i][j]=f[i][j-]+(C[i][j]==);
} dp[][]=f[][];
for(int i=;i<=;++i)
for(int j=;j<=i;++j)
dp[i][j]=dp[i-][min(i-,j)]+f[i][j];
} int main(){
scanf("%d%d",&T,&k);
init();
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(m>n) m=n;
printf("%d\n",dp[n][m]);
}
return ;
}
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