LOJ2541. 「PKUWC2018」猎人杀 [概率，分治NTT]

传送门

思路

好一个神仙题qwq

首先，发现由于一个人死之后分母会变，非常麻烦，考虑用某种方法定住分母。

我们稍微改一改游戏规则：一个人被打死时只打个标记，并不移走，也就是说可以被打多次但只算一次。容易发现这并不影响最终结果。

然而光想到这个好像没什么用？

再考虑容斥：枚举哪些人在1之后被打死，其他随意。设在1后面的人的权值为\(S\)，总权值为\(sum\)，那么概率就是

\[\begin{align*}
&\sum_{i=0}^{\infty} (1-\frac{w_1+S}{sum})^i\frac{w_1}{sum}\\
=&\frac{w_1}{sum}\times \frac{sum}{S+w_1}\\
=&\frac{w_1}{w_1+S}
\end{align*}
\]

（上式表示枚举打了几枪之后打到1）

而容斥系数是\((-1)^{人数}\)。

由于\(\sum w\)很小，可以考虑背包算出\(S\)的贡献，但跑不过去。

用分治NTT优化背包即可，每个人的生成函数是\(1-x^{w_i}\)，对应每多一个人容斥系数就乘\(-1\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 404004
    #define mod 998244353ll
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
    inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
        if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
        while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
        while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifdef NTFOrz
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int r[sz],limit;
void NTT_init(int n)
{
	int l=-1;
	for (limit=1;limit<=n;limit<<=1) ++l;
	rep(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
}
void NTT(ll *a,int type)
{
	rep(i,0,limit-1) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	for (int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
	{
		ll Wn=ksm(3,(mod-1)/mid>>1);if (type==-1) Wn=inv(Wn);
		for (int len=mid<<1,j=0;j<limit;j+=len)
		{
			ll w=1;
			for (int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn%mod)
			{
				ll x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if (type==1) return;
	ll I=inv(limit);
	rep(i,0,limit-1) a[i]=a[i]*I%mod;
}

int n;
int w[sz];

ll tmp[60][sz];
int st[60],top;
int len[60];
int work(int l,int r)
{
	if (l==r){int k=st[top--];tmp[k][0]=1;tmp[k][w[l]]=mod-1;len[k]=w[l];return k;}
	int mid=(l+r)>>1,L=work(l,mid),R=work(mid+1,r);
	int k=st[top--];
	NTT_init(len[L]+len[R]+2);
	NTT(tmp[L],1);NTT(tmp[R],1);
	rep(i,0,limit-1) tmp[L][i]=tmp[L][i]*tmp[R][i]%mod;
	NTT(tmp[L],-1);
	rep(i,0,len[L]+len[R]) tmp[k][i]=tmp[L][i];
	len[k]=len[L]+len[R];
	rep(i,0,limit-1) tmp[L][i]=tmp[R][i]=0;
	st[++top]=L;st[++top]=R;
	return k;
}

int main()
{
    file();
	read(n);
	int sum=0;
	rep(i,1,n) read(w[i]),sum+=w[i];
	rep(i,1,50) st[++top]=i;
	int k=work(2,n);
	ll ans=0;
	rep(i,0,sum-w[1]) (ans+=tmp[k][i]*inv(w[1]+i)%mod)%=mod;
	ans=ans*w[1]%mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}