一、聚类(无监督)的目标

使同一类对象的相似度尽可能地大;不同类对象之间的相似度尽可能地小。

二、层次聚类

层次聚类算法实际上分为两类:自上而下或自下而上。自下而上的算法在一开始就将每个数据点视为一个单一的聚类,然后依次合并(或聚集)类,直到所有类合并成一个包含所有数据点的单一聚类。因此,自下而上的层次聚类称为合成聚类或HAC。聚类的层次结构用一棵树(或树状图)表示。树的根是收集所有样本的唯一聚类,而叶子是只有一个样本的聚类。在继续学习算法步骤之前,先查看下面的图表

1.我们首先将每个数据点作为一个单独的聚类进行处理。如果我们的数据集有X个数据点,那么我们就有了X个聚类。然后我们选择一个度量两个聚类之间距离的距离度量。作为一个示例,我们将使用平均连接(average linkage)聚类,它定义了两个聚类之间的距离,即第一个聚类中的数据点和第二个聚类中的数据点之间的平均距离。

2.在每次迭代中,我们将两个聚类合并为一个。将两个聚类合并为具有最小平均连接的组。比如说根据我们选择的距离度量,这两个聚类之间的距离最小,因此是最相似的,应该组合在一起。

3.重复步骤2直到我们到达树的根。我们只有一个包含所有数据点的聚类。通过这种方式,我们可以选择最终需要多少个聚类,只需选择何时停止合并聚类,也就是我们停止建造这棵树的时候!

层次聚类算法不要求我们指定聚类的数量,我们甚至可以选择哪个聚类看起来最好。此外,该算法对距离度量的选择不敏感;它们的工作方式都很好,而对于其他聚类算法,距离度量的选择是至关重要的。层次聚类方法的一个特别好的用例是,当底层数据具有层次结构时,你可以恢复层次结构;而其他的聚类算法无法做到这一点。层次聚类的优点是以低效率为代价的,因为它具有O(n³)的时间复杂度,与K-Means和高斯混合模型的线性复杂度不同。

层次聚类方法对给定的数据集进行层次的分解,直到某种条件满足或者达到最大迭代次数。具体又可分为:

凝聚的层次聚类(AGNES算法):一种自底向上的策略,首先将每个对象作为一个簇,然后合并这些原子簇为越来越大的簇(一般是计算所有簇的中心之间的距离,选取距离最小的两个簇合并),直到某个终结条件被满足或者达到最大迭代次数。
分裂的层次聚类(DIANA算法):采用自顶向下的策略,它首先将所有对象置于一个簇中,然后逐渐细分为越来越小的簇(一般是每次迭代分裂一个簇为两个),直到达到了某个终结条件或者达到最大迭代次数。

import sys,os
import numpy as np class Hierarchical:
def __init__(self,center,left=None,right=None,flag=None,distance=0.0):
self.center = center
self.left = left
self.right = right
self.flag = flag
self.distance = distance def traverse(node):
if node.left==None and node.right==None:
return [node.center]
else:
return traverse(node.left)+traverse(node.right) def distance(v1,v2):
if len(v1)!=len(v2):
print("出现错误了")
distance = 0
for i in range(len(v1)):
distance+=(v1[i]-v2[i])**2
distance = np.sqrt(distance)
return distance def hcluster(data,n):
if len(data)<=0:
print('invalid data')
clusters = [Hierarchical(data[i],flag=i) for i in range(len(data))]
#print(clusters)
distances = {}
min_id1 = None
min_id2 = None
currentCluster = -1 while len(clusters)>n:
minDist = 100000000000000 for i in range(len(clusters)-1):
for j in range(i+1,len(clusters)):
#print(distances.get((clusters[i], clusters[j])))
if distances.get((clusters[i],clusters[j]))==None: distances[(clusters[i].flag,clusters[j].flag)]=distance(clusters[i].center,clusters[j].center) if distances[(clusters[i].flag,clusters[j].flag)]<= minDist:
min_id1 = i
min_id2 = j
minDist = distances[(clusters[i].flag,clusters[j].flag)] if min_id1!=None and min_id2!=None and minDist!=1000000000:
newCenter = [(clusters[min_id1].center[i]+clusters[min_id2].center[i])/2 for i in range(len(clusters[min_id2].center))]
newFlag = currentCluster
currentCluster -= 1
newCluster = Hierarchical(newCenter,clusters[min_id1],clusters[min_id2],newFlag,minDist)
del clusters[min_id2]
del clusters[min_id1]
clusters.append(newCluster)
finalCluster = [traverse(clusters[i]) for i in range(len(clusters))]
return finalCluster if __name__ == '__main__':
data = [[123,321,434,4325,345345],[23124,141241,434234,9837489,34743],\
[128937,127,12381,424,8945],[322,4348,5040,8189,2348],\
[51249,42190,2713,2319,4328],[13957,1871829,8712847,34589,30945],
[1234,45094,23409,13495,348052],[49853,3847,4728,4059,5389]]
#print(len(data))
finalCluster = hcluster(data,3)
print(finalCluster)
#print(len(finalCluster[0])) 在聚类过程中,基于相关系数的距离是区分价格指数序列的主要指标,而 Manhattan距离则用于处理相关系数无法区分的部分。分裂的层次聚类方法优于凝聚的层次聚类方法,因为凝聚的方法无法判断使用何种距离度量,而分裂的方法则依次使用基于相关系数的距离和 Manhattan距离
【褚洪洋,柴跃廷,刘义.基于层次分裂算法的价格指数序列聚类[J].清华大学学报(自然科学版),2015,55(11):1178-1183.】大家可以参考这个文献对比层次聚类中的这两算法。论文的主要内容。

该文提出一种基于层次分裂算法的价格指数序列聚类方法选择基于相关系数的距离和 Manhattan距 离 作 为 距 离 度 量分 两 步 对 价格指数序列进行聚类算法通过设置不同的终止条件停止分裂不需要事先设置簇数
本文提出一种价格指数序列的层次分裂算法使用基于相关系数的距 离和 Manhattan 距离作为距离度量分两步对价格指数序列进行聚类在编制网购价格指数时算法能够有效划分价格指数序找到同类商品的基本价格指数为分类价格指数的编制提供依据与其他时序数据的聚类算法相本算法有如下特点                          1)不直接采用相关系数作为距离度量而是采用剔除整体趋势后的相关系数能够更准确地反映价格指数序列间的关系                       2)结合价格指数序列的实际情况分别采用两种不同的距离度量对价格指 数序列进行分裂聚有效地对价格指数序列进行划分                       3)不需要事先设置簇数通过分裂终止条件控制簇分裂的停止算法根据价格指数序列数据和终止条件参数自动获取簇数。)
三、基于密度的聚类方法
基于密度的聚类算法从样本密度的角度考察样本之间的可连接性,并基于可连接样本不断扩展聚类簇得到最终结果。
DBSCAN:具有噪声的基于聚类方法,能够处理非球状结构数据

 

大致思想如下:

初始化核心对象集合T为空,遍历一遍样本集D中所有的样本,计算每个样本点的ε-邻域中包含样本的个数,如果个数大于等于MinPts,则将该样本点加入到核心对象集合中。初始化聚类簇数k = 0, 初始化未访问样本集和为P = D。
当T集合中存在样本时执行如下步骤:
2.1记录当前未访问集合P_old = P
2.2从T中随机选一个核心对象o,初始化一个队列Q = [o]
2.3P = P-o(从T中删除o)
2.4当Q中存在样本时执行:
2.4.1取出队列中的首个样本q
2.4.2计算q的ε-邻域中包含样本的个数,如果大于等于MinPts,则令S为q的ε-邻域与P的交集,
Q = Q+S, P = P-S
2.5 k = k + 1,生成聚类簇为Ck = P_old - P
2.6 T = T - Ck
划分为C= {C1, C2, ……, Ck}

import numpy as np
import pylab as pl data = '''
1,0.697,0.46,2,0.774,0.376,3,0.634,0.264,4,0.608,0.318,5,0.556,0.215,
6,0.403,0.237,7,0.481,0.149,8,0.437,0.211,9,0.666,0.091,10,0.243,0.267,
11,0.245,0.057,12,0.343,0.099,13,0.639,0.161,14,0.657,0.198,15,0.36,0.37,
16,0.593,0.042,17,0.719,0.103,18,0.359,0.188,19,0.339,0.241,20,0.282,0.257,
21,0.748,0.232,22,0.714,0.346,23,0.483,0.312,24,0.478,0.437,25,0.525,0.369,
26,0.751,0.489,27,0.532,0.472,28,0.473,0.376,29,0.725,0.445,30,0.446,0.459''' a = data.split(',')
dataset = [(float(a[i]),float(a[i+1])) for i in range(1,len(a)-1,3)] #计算欧几里得距离,a,b分别为两个元组
def dist(a,b):
return np.sqrt(pow((a[0]-b[0]),2))+np.sqrt(pow((a[1]-b[1]),2)) def DBSCAN(D,e,Minpts):# 初始化核心对象集合T,聚类个数k,聚类集合C, 未访问集合P
T =set();k=0;C = [];P = set(D)
for d in D:
if len([i for i in D if dist(d,i)<=e])>= Minpts:
T.add(d)
#开始聚类
while len(T):
P_old = P
o = list(T)[np.random.randint(0,len(T))]
P = P - set(o)
Q = [];Q.append(o)
while len(Q):
q = Q[0]
Nq = [i for i in D if dist(q,i)<=e]
if len(Nq)>=Minpts:
S = P&set(Nq)
Q += (list(S))
P = P - S
Q.remove(q)
k += 1
Ck = list(P_old-P)
T = T - set(Ck)
C.append(Ck)
return C #画图
def draw(C):
colValue = ['r', 'y', 'g', 'b', 'c', 'k', 'm']
for i in range(len(C)):
coo_X = [] #x坐标列表
coo_Y = [] #y坐标列表
for j in range(len(C[i])):
coo_X.append(C[i][j][0])
coo_Y.append(C[i][j][1])
pl.scatter(coo_X, coo_Y, marker='x', color=colValue[i%len(colValue)], label=i) pl.legend(loc='upper right')
pl.show() C = DBSCAN(dataset, 0.11, 5)
draw(C)
运行结果如下:

 

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