[GDKOI2016]小学生数学题
记
$F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i^{-1}$
$G(n)=\sum\limits_{i=1,i\neq jp}^{n}i^{-1}$
我们要算$F(n)\%p^k$
那么
$F(n)\%p^k=\frac{F( \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor )}{p}\%p^k+G(n)\%p^k$
我们知道$\frac{F( \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor )}{p}\%p^k=\frac{F( \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor )\%p^{k+1}}{p}$,其中$F( \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor )\%p^{k+1}$可以可以递归算,所以我们重点要考虑的是$G(n)\%p^k$
不妨设$p|n$,那么
$G(n)\%p^k=\sum\limits_{a=1}^{p-1}\sum\limits_{b=0}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor -1}(a+bp)^{-1}\%p^k$
用广义二项式定理展开:
$(a+bp)^{-1}=\sum\limits_{i=0}^{oo}C_{-1}^{i}a^{-1-i}b^ip^i=\sum\limits_{i=0}^{oo}(-1)^ia^{-1-i}b^ip^i$
又因为是在模$p^k$意义下的,所以
$(a+bp)^{-1}\%p^k=\sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^ia^{-1-i}b^ip^i\%p^k$
所以
$G(n)\%p^k=\sum\limits_{a=1}^{p-1}\sum\limits_{b=0}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor -1}\sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^ia^{-1-i}b^ip^i\%p^k$
$=\sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^ip^i\sum\limits_{a=1}^{p-1}a^{-1-i}\sum\limits_{b=0}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor -1}b^i\%p^k$
需要注意的一点是,用二项式定理的时候,规定$0^0=1$
我们枚举$i$和$a$,要$O(kp)$的时间复杂度;剩下的$\sum\limits_{b=0}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor -1}b^i\%p^k$就是自然数幂和,记$S_{i}(n)=\sum\limits_{b=0}^{n}b^i\%p^k$,可以用$O(k^2)$的时间内预处理出所有的$S_{i}(\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor-1)\%p^k(0\leq i\leq k-1)$
如果$n$不是$p$的倍数,剩下的零头乱搞就行了
所以每递归一次的时间复杂度是$O(kp+k^2)$
所以总的时间复杂度是$O(log_{p}n(kp+k^2))$
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#include<climits>
#include<complex>
#include<cassert>
//#include<bits/stdc++.h>适用于CF,UOJ,但不适用于poj using namespace std; typedef long long LL;
typedef double DB;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<DB,DB> PDD;
typedef complex<DB> CP;
typedef vector<int> VI; #define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a))
#define fill(a,l,r,v) fill(a+l,a+r+1,v)
#define re(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);i++)
#define red(i,a,b) for(i=(a);i>=(b);i--)
#define fi first
#define se second
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define pb(a) push_back(a)
#define SF scanf
#define PF printf
#define two(k) (1<<(k))
#define SZ(x) (int(x.size()))
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define ire(i,v,x) for(i=0,v=i<SZ(x)?x[i]:0;i<SZ(x);v=x[++i]) template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;}
template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;}
template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;} inline int sgn(DB x){if(abs(x)<1e-)return ;return(x>)?:-;}
const DB Pi=acos(-1.0); int gint()
{
int res=;bool neg=;char z;
for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar());
if(z==EOF)return ;
if(z=='-'){neg=;z=getchar();}
for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*+z-'',z=getchar());
return (neg)?-res:res;
}
LL gll()
{
LL res=;bool neg=;char z;
for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar());
if(z==EOF)return ;
if(z=='-'){neg=;z=getchar();}
for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*+z-'',z=getchar());
return (neg)?-res:res;
} const LL maxp=;
const LL maxk=; LL multiply(LL a,LL b,LL MOD)
{
LL t=(LL)((DB)a*b/MOD);
return a*b-t*MOD;
} LL su[maxk][maxk],sb[maxk];
void calc(LL n,LL d,LL m)
{
LL i,j;
su[][]=;
re(i,,d)
{
su[i][]=;
re(j,,d-)su[i][j]=(multiply(i-,su[i-][j],m)+su[i-][j-])%m;
su[i][i]=;
}
sb[]=n%m;
re(i,,d)
{
sb[i]=;
red(j,n+,n+-i)if(j%(i+)==)sb[i]=multiply(sb[i],j/(i+),m); else sb[i]=multiply(sb[i],j,m);
LL l=(i%==)?:-;
re(j,,i-){(sb[i]-=l*multiply(su[i][j],sb[j],m))%=m;l=-l;}
}
} LL reva[maxp],powreva[maxp]; LL F(LL n,LL p,LL k,LL m)
{
LL i,j,res=;
if(n<p)
{
reva[]=;re(j,,n)reva[j]=multiply(reva[m%j],(m-m/j),m);
re(j,,n)(res+=reva[j])%=m;
return res;
}
calc(n/p-,k-,m);
(sb[]+=)%=m;
reva[]=;re(j,,p-)reva[j]=multiply(reva[m%j],(m-m/j),m);
re(j,,p-)powreva[j]=;
LL sp=,sa;
re(i,,k-)
{
sa=;
re(j,,p-)powreva[j]=multiply(powreva[j],reva[j],m),(sa+=powreva[j])%=m;
(res+=multiply(multiply(sp,sa,m),sb[i],m))%=m;
sp=multiply(sp,-p,m);
}
if(n%p!=)
{
re(j,,n%p)powreva[j]=;
LL sp=,sa;
re(i,,k-)
{
sa=;
re(j,,n%p)powreva[j]=multiply(powreva[j],reva[j],m),(sa+=powreva[j])%=m;
(res+=multiply(sp,sa,m))%=m;
sp=multiply(sp,(-p)*(n/p),m);
}
}
(res+=F(n/p,p,k+,m*p)/p)%=m;
return res;
} int main()
{
freopen("math.in","r",stdin);
freopen("math.out","w",stdout);
LL i,p=gll(),k=gll(),n=gll(),m=;re(i,,k)m*=p;
cout<<(F(n,p,k,m)%m+m)%m<<endl;
return ;
}
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