这一章节我们开始对多重积分的研究。

在此之前,我们首先来回忆起积分的过程,在平面中,面临求解不规则图形的面积(常叫曲边梯形)的时候,我们可以采取建立直角坐标系,然后通过得到不规则图形边界的函数表达式f(x),对f(x)求解一次定积分即可。其方法就是先微分(将自变量区间划分为n个区间段),引入极限的概念(即使得n趋向无穷)之后使得我们能够“化曲为直”,然后利用矩形的面积公式进行求解。随后是积分过程,将这n个小矩形相加求极限,可得曲边梯形的面积。

如下几图使得这个过程更加的直观.

Sp又叫做,f(x)在[a,b]上的黎曼和。

关于黎曼和,这里简单的插一句,关于积分的定义在牛顿时代就已经给出了,但是它现代数学的的定义是后来黎曼给出的。关于黎曼和,存在着很多形式。

由于积分和微分是逆运算,由此根据导数的定义可给出积分符号∫。

那么我们把一开始求曲边梯形的面积推广到空间,对于一个长方体将其一个面换成曲面(曲顶柱体),我们如何求解其体积呢?

像这个图一样。(其顶部是一个曲面,底面在x-O-y面上)(之所以有这个限制,是因为二重积分自身方法的限制,对于更一般的情况,在三重积分中会提到。)

类比处理曲边梯形面积的思想,这里我们建立三维坐标系,用二元函数z = f(x,y)来表征最上面的曲面,我们从它的底面分析,考虑“化曲为直”将其往长方体上靠拢。

我们将底面的矩形用一些平行于x、y的直线,将其划分成n个小矩形,并标号。记第i个矩形的长为△xi,宽为△yi,第i个小矩形的面积是△Ai=△xi△yi。

容易看到,我们可以近似的将不规则几何体看成由n个长方体组成,那么会得到如下的黎曼和的形式:

而很容易看到,随着n趋于无穷,约等式右边的和式将无限的接近V。

如下图所示。

因此我们得到:

可以看到,这里我们有两个维度的微小圆,因此我们要在两个维度上进行积分,因此我们采用如下的表述方式:

《University Calculus》-chaper13-多重积分-二重积分的引入的更多相关文章

  1. 《University Calculus》-chaper13-多重积分-三重积分的引入

    承接之前对一重积分和二重积分的介绍,这里我们自然的引出三重积分. 在二重积分的引入中,我们曾经埋下过一个小伏笔,二重积分的几何意义是求解一个体积,但是我们仅仅限定在了曲顶柱体的几何体,那么对于完全由曲 ...

  2. 《University Calculus》-chape5-积分法-积分的定义

    这一章节讨论积分的定义以及微积分基本定理. 笔者先前在数学证明专栏中关于高斯定理的证明的开头,给出了一段关于微积分思想的概括,文中提到根据导数(微分)的定义,根据其逆定义来给出积分的定义和计算方法,这 ...

  3. 《University Calculus》-chaper13-多重积分-二重积分的计算

    之前关于二重积分的笔记,介绍了二重积分概念的引入,但是对于它的计算方法(化为累次积分),介绍的较为模糊,它在<概率论基础教程>中一系列的推导中发挥着很重要的作用. 回想先前关于二重积分的几 ...

  4. 《University Calculus》-chape12-偏导数-基本概念

    偏导数本质上就是一元微分学向多元函数的推广. 关于定义域的开域.闭域的推广: 其实这个定义本质上讲的就是xoy面上阴影区域的最外面的一周,只不过这里用了更加规范的数学语言. 二次函数的图形.层曲线(等 ...

  5. 《University Calculus》-chaper13-向量场中的积分-线积分

    线积分: 基于二重积分和三重积分的引入,我们对于线积分的引入过程将会轻车熟路. 对于一根不均匀密度的铜丝,我们如何求其总质量?如下图. 类似二重积分和三重积分的引入,我们首先基于实际问题给出黎曼和的形 ...

  6. 《University Calculus》-chape8-无穷序列和无穷级数-欧拉恒等式

    写在前面:写在前面的当然是对大天朝教材的吐槽啦. 曾记否,高中所学虚数和复平面的概念,如此虚无的概念到了大学一门叫<模拟电子技术>的课程中居然明目张胆的开始进行计算! 曾记否,高中的指对运 ...

  7. 《University Calculus》-chape5-积分法-微积分基本定理

    定积分中值定理: 积分自身的定义是简单的,但是在教学过程中人们往往记得的只是它的计算方法,在引入积分的概念的时候,往往就将其与计算方法紧密的捆绑在一起,实际上,在积分简单的定义之下,微积分基本定理告诉 ...

  8. 《University Calculus》-chape10-向量和空间几何学-叉积

    叉积概念的引入: 在平面中我们为了度量一条直线的倾斜状态,为引入倾斜角这个概念.而通过在直角坐标系中建立tan α = k,我们实现了将几何关系和代数关系的衔接,这其实也是用计算机解决几何问题的一个核 ...

  9. 《University Calculus》-chaper8-无穷序列和无穷级数-p级数

    Q:定义p级数有如下形式,讨论p级数的敛散性.(p>o) 我们以p = 1作为分界点,因为实践表明这个分界点是最优区分度的.那么下面我们进行分情况讨论. 在这之前,我们有必要先引入一个检验敛散性 ...

随机推荐

  1. Android 5.0以上手机出现找不到so文件

    问题描述 最近做项目出了一个bug项目中用到so文件,在5.0以上的手机上会报一个初始化异常错误,并提示找不到so文件.lib里目录结构类似如下  在Android5以下都没有问题,在5.0以上会报错 ...

  2. Oracle利用dbms_metadata.get_ddl查看DDL语句

    当我们想要查看某个表或者是表空间的DDL的时候,可以利用dbms_metadata.get_ddl这个包来查看. dbms_metadata包中的get_ddl函数详细参数 GET_DDL函数返回创建 ...

  3. 文字排版--字体(font-family)

    我们可以使用css样式为网页中的文字设置字体.字号.颜色等样式属性.下面我们来看一个例子,下面代码实现:为网页中的文字设置字体为宋体. body{font-family:"宋体"; ...

  4. iOS UICollectionview的详细介绍

    转载自:http://jinqianchina.github.io/2015/08/16/UICollectionview%E7%9A%84%E4%BD%BF%E7%94%A8%E8%AF%A6%E8 ...

  5. gvim 常用命令

    插入: insert 强退: :q! 退出: :q 保存: :w 保存退出::wq 复制: yy(单行)   多行:8yy 删除: dd(单行)   多行:8dd 或者 :4,8d 执行脚本: :! ...

  6. PHP中的&传值引用的问题,在foreach循环的结果能帮解释下输出的结果原理是什么?

    PHP中的&传值引用的问题,在foreach循环的结果能帮解释下输出的结果原理是什么? 代码如下: <?php $arr = array('one','two','three'); fo ...

  7. ExtJS 4学习

      主要是选自<Ext js 权威指南>描述的是Extjs4的版本 模板代码如下:(略有改动,原因是当前文件目录下放置了extjs的包) <!DOCTYPE HTML PUBLIC ...

  8. python中xrange和range的区别

    这两个基本上都是在循环的时候用. for i in range(0, 100): print i for i in xrange(0, 100): print i 这两个输出的结果都是一样的,实际上有 ...

  9. Windows7 IIS7 无法启动计算机上的服务W3SVC如何修复

    错误提示 启动iis7管理服务器提示:无法启动计算机上的服务W3SVC 启动Windows Process Activation Service服务,报错:6801 指定资源管理器中的事务支持未启动或 ...

  10. 如何使rdlc报表的表头在每一页都显示

    想要使表格的表头在每一行都显示,直接在表格的属性设置界面中设置是无效的,应该算是一个BUG,如图: 但还是可以实现的,实现方法如下,这个实现方法从网上得到 开发工具: Visual Studio 20 ...