Leetcode 435.无重叠区间

无重叠区间

给定一个区间的集合，找到需要移除区间的最小数量，使剩余区间互不重叠。

注意:

1. 可以认为区间的终点总是大于它的起点。
2. 区间 [1,2] 和 [2,3] 的边界相互"接触"，但没有相互重叠。

示例 1:

输入: [ [1,2], [2,3], [3,4], [1,3] ]

输出: 1

解释: 移除 [1,3] 后，剩下的区间没有重叠。

示例 2:

输入: [ [1,2], [1,2], [1,2] ]

输出: 2

解释: 你需要移除两个 [1,2] 来使剩下的区间没有重叠。

示例 3:

输入: [ [1,2], [2,3] ]

输出: 0

解释: 你不需要移除任何区间，因为它们已经是无重叠的了。

【题目分析】

这个题目与《算法导论》中活动安排的题目非常类似。

活动选择问题
有n个需要在同一天使用同一个教室的活动a1,a2,…,an，教室同一时刻只能由一个活动使用。每个活动ai都有一个开始时间si和结束时间fi 。一旦被选择后，活动ai就占据半开时间区间[si,fi)。如果[si,fi]和[sj,fj]互不重叠，ai和aj两个活动就可以被安排在这一天。该问题就是要安排这些活动使得尽量多的活动能不冲突的举行。例如下图所示的活动集合S，其中各项活动按照结束时间单调递增排序。

考虑使用贪心算法的解法。为了方便，我们用不同颜色的线条代表每个活动，线条的长度就是活动所占据的时间段，蓝色的线条表示我们已经选择的活动；红色的线条表示我们没有选择的活动。
如果我们每次都选择开始时间最早的活动，不能得到最优解：

如果我们每次都选择持续时间最短的活动，不能得到最优解：

可以用数学归纳法证明，我们的贪心策略应该是每次选取结束时间最早的活动。直观上也很好理解，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。这也是把各项活动按照结束时间单调递增排序的原因。

【思路】

参照上面活动安排的例子，我们很容易得到这个题目的解法。这是一个贪心问题，我们每次都找到那个结束点最小的区间，然后依次向后找那些与前面区间不冲突且结束点早的区间。这个过程中我们把局部的最优解合并成了全局的最优解。

 /**
  * Definition for an interval.
  * public class Interval {
  *     int start;
  *     int end;
  *     Interval() { start = 0; end = 0; }
  *     Interval(int s, int e) { start = s; end = e; }
  * }
  */
 public class Solution {
     public int eraseOverlapIntervals(Interval[] intervals) {
         if(intervals.length == 0) return 0;

         Comparator<Interval> comp = new Comparator<Interval>() {
             public int compare(Interval interval1, Interval interval2) {
                 if(interval1.end > interval2.end) return 1;
                 else if(interval1.end < interval2.end) return -1;
                 else return 0;
             }
         };

         Arrays.sort(intervals, comp);
         int lastend = intervals[0].end;
         int remove = 0;
         for(int i = 1; i < intervals.length; i++) {
             if(intervals[i].end == lastend) remove++;
             else if(intervals[i].start < lastend) remove++;
             else lastend = intervals[i].end;
         }

         return remove;
     }
 }