牛客网暑期ACM多校训练营(第六场) C Generation I(组合数学, 逆元)
中链接:
https://www.nowcoder.com/acm/contest/144/C
题意:
给定n个集合, 要求用n次操作, 第i次操作用1~m中一个数填入 i ~ n个集合中, 集合无序而且元素不重复。
分析:
因为要填入i ~ n个集合中, 所以考虑最后一个集合, 其实每个数只有第一次出现才是有效的, 假设有k个数出现(我们可以枚举这个k), 那么这k个数的排列就是
因为第一个数是不会有影响的, 所以可以把k个数的第一个放到第一位。
剩下的(k-1)个数要放进(n-1)个格子中有种方法, 其实这些位置就是这个数第一次出现的位置, 剩余n-k的位置其实是没有贡献的。
答案就是
拆开看第k项就是
那么可以从k = 1递推,
特殊地ans[1] = m
ans[2] = ans[1] * (m-1) * (n-1) / 1
ans[3] = ans[2] * (m-2) * (n-2) / 2...
注意求模跟逆元就行了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long MOD = ;
const int maxN = 1e6;
long long inv(long long a, long long b){
long long sum = ;
while(b){
if(b & ) sum = sum * a % MOD;
b /= ;
a = a * a % MOD;
}
return sum;
}
long long n, m, Min;
long long Inv[maxN + ]; //a() c(n,m)
void init() {
Inv[] = ;
long long _ = ;
for(int i = ; i <= maxN; i++){
Inv[i] = inv(i, MOD - );
}
}
int main() {
init();
int T;
scanf("%d", &T);
for(int kase = ; kase <= T; kase++) {
scanf("%lld %lld",&n , &m);
Min = min(n, m); m %= MOD, n %= MOD; long long ans = m;
long long sum = m;
for(int i = ; i < Min; i++){
sum = sum * (m - i) % MOD * (n - i) % MOD * Inv[i] % MOD;
ans += sum;
ans %= MOD;
}
printf("Case #%d: %lld\n",kase, ans);
}
}
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