BZOJ1089: [SCOI2003]严格n元树

1089: [SCOI2003]严格n元树

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Description

如果一棵树的所有非叶节点都恰好有n个儿子，那么我们称它为严格n元树。如果该树中最底层的节点深度为d（根的深度为0），那么我们称它为一棵深度为d的严格n元树。例如，深度为２的严格２元树有三个，如下图：

给出n, d，编程数出深度为d的n元树数目。

Input

仅包含两个整数n, d( 0   <   n   <   =   32,   0  < =   d  < = 16)

Output

仅包含一个数，即深度为d的n元树的数目。

Sample Input

【样例输入1】
2 2

【样例输入2】
2 3

【样例输入3】
3 5

Sample Output

【样例输出1】
3

【样例输出2】
21

【样例输出2】
58871587162270592645034001

HINT

Source

题解：

先说一下此题我的想法（尽管没有A掉。。。）

考虑递推解此题：

设f[i]表示深度为i的严格n元树的数目，g[i]表示深度为（1--i）的严格n元树的数目。

则我们有如下递推式：

1.f[i]=g[i-1]^n-g[i-2]^n

2.g[i]=g[i-1]+f[i]

第二个是显然的，我们来说一下第一个是怎么来的。

因为我们从i-1递推到i，所以考率在n棵子树上加一个根节点，其余为原先的子树

因为要保证这棵树的深度达到n，所以至少有一个子树的深度达到n-1，

所以每个子树可以有g[i-1]种形态，n棵就是g[i-1]^n，然后去掉不合法的，

不合法的就是每个子树的深度都在1--i-2，即有g[i-2]种选择，也就是 g[i-2]^n

然后如果我们使用累加法的话可以发现 g[i]=g[i-1]^n+1，貌似很简单了？

TLE！！！尽管没有试，但我想是这样的，因为这个复杂度的话，ans必须<=4000位，看起来貌似不可能那么少。。。

高精度乘高精度太浪费时间了，我暂时没有想到好的解决办法。

贴一下上面的代码（没有用累加法）

 #include<cstdio>
 
 #include<cstdlib>
 
 #include<cmath>
 
 #include<cstring>
 
 #include<algorithm>
 
 #include<iostream>
 
 #include<vector>
 
 #include<map>
 
 #include<set>
 
 #include<queue>
 
 #include<string>
 
 #define inf 1000000000
 
 #define maxn 50
 
 #define maxm 500000
 
 #define eps 1e-10
 
 #define ll long long
 
 #define pa pair<int,int>
 
 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
 
 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
 
 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
 
 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
 
 #define mod 10000
 
 using namespace std;
 
 inline int read()
 
 {
 
     int x=,f=;char ch=getchar();
 
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
 
     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}
 
     return x*f;
 
 }
 int n,m,f[maxn][maxm],g[][maxm],t[maxm],c[maxm];
 inline void writeln(int *a)
 {
     cout<<a[a[]];
     for3(i,a[]-,)cout<<a[i];cout<<endl;
 }
 inline void update(int *a)
 {
     for1(i,a[])
     {
         a[i+]+=a[i]/mod;
         a[i]%=mod;
         if(a[a[]+])a[]++;
     }
 }
 inline void mul(int *a,int x)
 {
     for1(i,a[])a[i]*=x;
     update(a);
 }
 inline void jia(int *a,int *b)
 {
     a[]=max(a[],b[]);
     for1(i,a[])
      {
          a[i]+=b[i];
          a[i+]+=a[i]/mod;
          a[i]%=mod;
      }
     while(!a[a[]])a[]--;
 }
 inline void cheng(int *a,int *b)
 {
     memset(c,,sizeof(c));
     for1(i,a[])
      for1(j,b[])
       {
        c[i+j-]+=a[i]*b[j];
        c[i+j]+=c[i+j-]/mod;
        c[i+j-]%=mod;
       }
     c[]=a[]+b[]+;
     while(!c[c[]]&&c[])c[]--;
     memcpy(a,c,sizeof(c));
 }
 inline void jian(int *a,int *b)
 {
     for1(i,a[])
      {
        a[i]-=b[i];
        if(a[i]<)a[i]+=mod,a[i+]-=;
      }
     while(!a[a[]])a[]--;
 }
 
 int main()
 
 {
 
     freopen("input.txt","r",stdin);
 
     freopen("output.txt","w",stdout);
 
     n=read();m=read();
     f[][f[][]=]=;
     g[][g[][]=]=;
     g[][g[][]=]=;
     for2(i,,m)
     {
         f[i][f[i][]=]=;
         for1(j,n)cheng(f[i],g[]);
         t[t[]=]=;
         for1(j,n)cheng(t,g[]);
         jian(f[i],t);
         jia(g[],f[i-]);
         jia(g[],f[i]);
     }
     printf("%d",f[m][f[m][]]);
     for3(i,f[m][]-,)printf("%04d",f[m][i]);
 
     return ;
 
 }

感觉不会再爱了，这居然就是正解QAQ

不会貌似别人解释的更简单，直接推g[i]的表达式也很简单。

妈蛋，数据范围给的太大了，和lydsy要过来数据发现全是非常小的T_T

我做了2天多，一直在对拍自己的程序为什么出错，AC的程序运行过程中答案为什么会越来越小，我的程序为什么10 15的点都跑不出来，而且位数剧增

今天才发现是别人的空间爆了啊。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

还以为是我的程序错了啊。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

看来我的推断没有错，如果数据范围真如题中所说，那么答案的位数就太大了。

我要去建议lydsy修改此题的题面，不要再像坑我一样坑了其他人。。。

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<vector>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<queue>
 #include<string>
 #define inf 1000000000
 #define maxn 500+100
 #define maxm 500+100
 #define eps 1e-10
 #define ll long long
 #define pa pair<int,int>
 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
 #define mod 10000
 using namespace std;
 inline int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 class bigg
 {
 public:
     int num[maxn], len;
     bigg()
     {
         memset(num,,sizeof(num));
         len=;
     }
     bigg operator = (const bigg &b)
     {
         memset(num,,sizeof(num));
         len=b.len;
         for1(i,len)num[i]=b.num[i];
         return(*this);
     }
     bigg operator = (int b)
     {
         memset(num,,sizeof());
         if (b==)
         {
             len=;
             return(*this);
         }
         len=;
         while(b>)
         {
             num[++len]=b%mod;
             b/=mod;
         }
         return (*this);
     }
     bigg operator * (const bigg &b)
     {
         bigg ans;
         ans=;
         if (len==&&num[]==||b.len==&&b.num[]==)
             return ans;
         ans.len=len+b.len-;
         for1(i,len)
         for1(j,b.len)
         {
             ans.num[i+j-]+=num[i]*b.num[j];
             ans.num[i+j]+=ans.num[i+j-]/mod;
             ans.num[i+j-]%=mod;
         }
         if (ans.num[ans.len+])ans.len++;
         while(!ans.num[ans.len])ans.len--;
         return ans;
     }
     bigg operator - (const bigg &b)
     {
         bigg ans;
         ans=;
         ans.len=len;
         for1(i,len)
         {
             ans.num[i]+=num[i]-b.num[i];
             if (ans.num[i]<)
             {
                 ans.num[i+]--;
                 ans.num[i]+=mod;
             }
         }
         while (ans.len>&&!ans.num[ans.len]) ans.len--;
         return ans;
     }
     bigg operator + (const bigg &b)
     {
         bigg ans;
         ans=;
         ans.len=max(len,b.len);
         for1(i,ans.len)
         {
             ans.num[i]+=num[i]+b.num[i];
             ans.num[i+]=ans.num[i]/mod;
             ans.num[i]%=mod;
         }
         if (ans.num[ans.len+])ans.len++;
         return ans;
     }
     void print()
     {
         printf("%d",num[len]);
         for3(i,len-,)printf("%04d",num[i]);
         printf("\n");
     }
 };
 
 int main()
 {
     freopen("input.txt","r",stdin);
     freopen("output.txt","w",stdout);
     int n, deep;
     scanf("%d%d", &n, &deep);
     if (deep == )
     {
         printf("1\n");
         return ;
     }
     bigg fpre, fnow, f1;
     fpre=,f1=;
     for1(i,deep)
     {
         fnow=;
         for1(j,n)fnow=fnow*fpre;
         fnow=fnow+f1;
         if (i!= deep) fpre=fnow;
     }
     fnow=fnow-fpre;
     fnow.print();
     return ;
 }
     

不过还是有几点收获的：

1.捞到一个高精度模版

2.class里数组要开小