AT2401 [ARC072C] Alice in linear land
基于观察,可以发现这样一条性质:
- 我们并不关心当前位置和终点的绝对关系,只在乎当前位置和终点的距离,当这个距离确定的时候接下来能走到的位置也是确定的。
基于这个观察可以发现,本质上每个位置的状态就是和终点的距离。
进一步可以发现,对于一个查询 \(q = x\) 假设在 \(x - 1\) 已经到达了 \(p\) 位置,那么我们一定可以在 \(x\) 这个位置通过调整使得经过 \(x\) 后距离终点的距离为 \([0, p]\) 中任意一个数。
于是问题就转化为,是否存在 \([0, p]\) 中的一个距离 \(d\) 使得从 \(x + 1\) 开始往后走不能到达终点。
可以发现,对于前者从 \(1\) 走到 \(x - 1\) 后距离终点的距离是很好计算的。
直接令 \(f_i\) 表示 \(1\) 走到 \(i\) 后到终点的距离,则 \(f_i = \min(f_{i - 1}, |f_{i - 1} - a_i|)\)
重头戏在后面部分,如何求出对于每个起点距离终点 \(d\) 从 \(i\) 往后走能否到达终点呢?
同样考虑直接令 \(g_{i, j}\) 表示起点距离终点 \(j\),从 \(i\) 往后走能否走到终点。
那么就会有转移:
g_{i, j} =
\begin{cases}
g_{i + 1, j} (a_i >= 2 \times j) \\
g_{i + 1, a_i - j} (j \le a_i < 2 \times j) \\
g_{i + 1, j - a_i} (a_i < j)
\end{cases}
\end{aligned}
\]
但是这样求是 \(O(nD)\) 的,显然不可取。
可以发现,问题在于我们不能计算出所有的距离 \(d\) 是否能到达。
于此同时又可以发现,我们并不需要知道所有的距离 \(d\) 是否能到达,只需要知道是否存在一个在 \([0, f_{i - 1}]\) 内的距离即可。
因此,为了尽可能满足在这个范围之内,我们只需要贪心地选取最小的哪个满足条件的距离,判断其是否在这个区间即可。
顺着这个思路考虑改写一下所求,令 \(g_i\) 表示最小的距离 \(d\) 使得 \(i\) 往后不能到达终点。
下面考虑转移,同样还是考虑分走或不走转移。
继续观察可以发现 \(\forall i, g_i \ge g_{i + 1}\),因此为了使得 \(g_i\) 最小应该尽量使得其不走动。
所以,当 \(a_i \ge 2 \times g_{i}\) 时,\(g_i = g_{i + 1}\),因为我们只知道 \(g_{i + 1}\),因此判定条件改为 \(a_i \ge 2 \times g_{i + 1}\)。
那么当 \(a_i < 2 \times g_{i + 1}\) 时,\(g_i \ge g_{i + 1} + a_i\);否则 \(g_i < g_{i + 1} + a_i \Rightarrow g_i - a_i < g_{i + 1}\) 同时 \(g_i - a_i\) 也是不合法的,与 \(g_{i + 1}\) 已经最小矛盾。
同时,这个下界显然是可以取到的,因此 \(g_i = g_{i + 1} + a_i(a_i < 2 \times g_{i + 1})\)
显然初始值 \(g_{n + 1} = 1\)。
最后查询直接判断是否 \(g_{q + 1} \le f_{q - 1}\) 即可,复杂度 \(O(n + q)\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++i)
#define dep(i, l, r) for (int i = r; i >= l; --i)
const int N = 5e5 + 5;
const int inf = 1e9;
int n, q, D, x, a[N], f[N], g[N];
int read() {
char c; int x = 0, f = 1;
c = getchar();
while (c > '9' || c < '0') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return x * f;
}
signed main() {
n = read(), D = read();
rep(i, 1, n) a[i] = read();
f[0] = D, g[n + 1] = 1;
rep(i, 1, n) f[i] = min(f[i - 1], abs(f[i - 1] - a[i]));
dep(i, 1, n) g[i] = (a[i] >= 2 * g[i + 1] ? g[i + 1] : g[i + 1] + a[i]);
q = read();
while (q--) x = read(), printf(g[x + 1] <= f[x - 1] ? "YES\n" : "NO\n");
return 0;
}
当要求某个范围内是否存在合法的数时,往往可以求某个特殊的合法的值,判断其是否在范围内即可。
比如 \([0, x]\) 内求最小,\([x, +\infty)\) 求最大。
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