CF1025B题解

其他的几篇题解大多都是先求了 \(c_i \gets lcm(a_i,b_i)\) ，然后求全部 \(c_i\) 的最大公约数，但是对每一组数都求一下 \(lcm(a_i,b_i)\) 会增加时间复杂度，所以直接把 \(a_i\) ，\(b_i\) 乘起来就行，不妨记录 \(a_i*b_i\) 为 \(c_i\) 最后再求所以 \(c_i\) 的最大公约数，求所以 \(c_i\) 的最大公约数的方法是先求 \(now \gets gcd(c_{i-1},c_{i-2})\) ，然后再求 \(gcd(now,c_i)\) ，为什么 \(gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)\) 呢，因为

\[
gcd(a,b)=\prod_{p} p^{min(a_p,b_p)}
\]

其中 \(a_p\) 与 \(b_p\) 为 \(a,b\) 质因数 \(p\) 的指数，记上面这个大式子为 \(q\) ,那么

\[
gcd(q,b)=\prod_{p} p^{min(q_p,c_p)}=\prod_{p} p^{min(min(a_p,b_p),c_p)}
\]

因为 \(min(min(a,b),c)\) 等价于 \(min(a,b,c)\) ，即 \(min\) 满足结合律 ，所以 \(gcd\) 也是满足结合律的。

当然求出所以 \(c_i\) 的最大公约数（记作 \(ans\) ）是不满足要求的 ，但是因为 \(ans\) 的质因数一定在所以 \(c_i\) 中都有，所以 \(ans\) 的质因数一定是在与 \(c_i\) 对应的 \(a_i\) ，\(b_i\) 至少一个中存在 ，且指数小于等于 \(min(a_p,b_p)\) ，所以输出 \(ans\) 输出一个质因数即可，显然当所有 \(c_i\) 的最大公约数为 \(1\) 时不存在 ，但是这题有点卡质因数分解 ，所以判断一下选 \(a_1\) 还是 \(b_1\) 然后与 \(ans\) 取个最大公约数能减小要分解的数的大小 ，具体见代码实现

代码实现:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read()
{
	ll X=0,w=0;char ch=0;
	while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return w?-X:X;
}

void write(ll x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
	if(x>9){write(x/10);}
	putchar(x%10+'0');
}
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll lcm(ll a,ll b){return a*b/gcd(a,b);}
struct node
{
	ll a,b,l;

};
ll f(ll x)
{
	for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
	{
		if(x%i==0){
			return i;
		}
	}
	return x;
}
int main()
{
	ll n=read();
	node arr[150000];
	ll aaa,bbb;
	cin>>aaa>>bbb;
	 for(int i=1;i<n;i++)
	 {
	 	arr[i].a=read();
	 	arr[i].b=read();
	 	arr[i].l=arr[i].a*arr[i].b;
        aaa=gcd(arr[i].a*arr[i].b,aaa);
        bbb=gcd(arr[i].a*arr[i].b,bbb);
	 }
	 ll now=gcd(arr[0].l,arr[1].l);
	for (int i=2;i<n;i++)
	{
		now=gcd(now,arr[i].l);
	}
	if(now==1)
	{
		cout<<"-1";
		return 0;
	}
	if(aaa!=1)
	{
		cout<<f(aaa);
	}
	else if(bbb!=1) cout<<f(bbb);
	else cout<<"-1";
	return 0;
}