论文解读（IDEC）《Improved Deep Embedded Clustering with Local Structure Preservation》

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Title：《Improved Deep Embedded Clustering with Local Structure Preservation》
Authors：Xifeng Guo, Long Gao, Xinwang Liu, Jianping Yin
Sources：2017, IJCAI
Other：69 Citations, 71 References
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Abstract

　　本文解决的问题：先前根据不同情况设计聚类损失函数的工作可能破坏了特征空间，产生无意义的特征表示从而降低了聚类性能。

　　本文解决的思路：

• • 使用聚类损失函数指导代表特征空间的 points 分布；
  • 采用 under-complete autoencoder 维护数据的局部结构；
  • 联合 聚类损失 和 AE 损失 来训练。

　　IDEC 既可以很好的实现聚类任务，还可以学到能保持局部结构的表示（Representation）。

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1 Introduction

　　聚类任务的划时代杰作：

• • 1967 MacQueen 的  k-means ；
  • 2006 Bishop 的 gaussian mixture model ；
  • 2007 Von Luxburg 的 spectral clustering ；

　　由于输入数据的维度很大，通常会有很多不可靠的特征数据，这严重影响力聚类效果。所以一个被普遍接受的想法是：将高维空间的输入数据映射到低维空间，然后再进行聚类。

　　Q1：为什么传统降维方法如 PCA 、LDA等学习表示的能力有限？

　　A1：知道的可以再评论区抒发见解。

　　由于深度学习的发展，DNN model 能很好的实现 feature transformation ，学到有用的表示。

　　然后介绍 DEC ，可以参考《论文解读（DEC）Unsupervised Deep Embedding for Clustering Analysis》。

　　本文贡献：

• • 提出了一种深度聚类算法，可以联合进行聚类和学习具有局部结构保存的代表性特征。
  • 通过实证证明了局部结构保存在深度聚类中的重要性。
  • IDEC 在很大的优势上优于最新的对手。

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2 Related Work

2.1 Deep Clustering

　　目前阶段的聚类算法：

1. 1. Two-stage work that applies clustering after having learned a representation；[ 该方法基于良好的表示 ]
   2. Approaches that jointly optimize the feature learning and clustering；[ 特征学习的时候同时进行聚类 ]

　　对于 1 举例：

1. • Tian et al., 2014 ：先使用 AE 学到低维有用表示，然后使用 k-means 进行聚类；
   • Chen, 2015 ：层级训练深度信念网络(DBN)，然后将 non-parametric maximum-margin 聚类应用于学习到的中间表示；
   • Peng et al., 2016 ： 使用稀疏自编码器，同时自适应学习局部和全局结构信息的表示，再采用传统的聚类算法进行聚类；

　　对于 2 举例：

• • Yang et al., 2016 ：proposes a recurrent framework in deep representations and image clusters, which integrates two processes into a single model with a unified weighted triplet loss and optimizes it end-to-end.
  • Xie et al.，2016 ：DEC 通过深度神经网络学习从观测空间到低维潜在空间的映射，可以同时获得特征表示和聚类分配；

2.2 Autoencoder

　　AE 有两个部分：

• • Encoder：编码器函数为  $z=f_{W}(x)$  ，输出表示 $z$ 。

　　　　　　$z=f_{W}(x)$

• • Decoder：解码器函数为  $x^{\prime}=g_{W^{\prime}}(z) $，根据表示 $z$ 重构原始输入 $x$ 。

　　　　　　$x^{\prime}=g_{W^{\prime}}(z)$

　　两种常见的自编码器：

• • 欠完备自编码器（ Under-complete autoencoder）：$z$ 的维度要小于原始输入的维度。
  • 去噪自编码器（ Denoising autoencoder）：$L=\left\|x-g_{W^{\prime}}\left(f_{W}(\tilde{x})\right)\right\|_{2}^{2} \quad \quad \quad (1)$

　　Reference：

1. 1. 欠完备自编码器：从自编码器获得有用特征的一种方法是限制  $h$  的维度比 $x$ 小，这种编码维度小于输入维度的自编码器称为欠完备（undercomplete）自编码器。学习欠完备的表示将强制自编码器捕捉训练数据中最显著的特征。
   2. 去噪自编码器（denoising autoencoder，DAE）是一类接受损坏数据作为输入，并训练来预测原始未被损坏数据作为输入的自编码器。

2.3 Deep Embedded Clustering

　　深度嵌入式聚类(DEC) [Xieetal.，2016] 首先对自动编码器进行预训练，然后删除解码器。其余的编码器通过优化以下目标进行微调：

　　　　$L=K L(P \| Q)=\sum\limits_{i} \sum\limits_{j} p_{i j} \log \frac{p_{i j}}{q_{i j}}\quad \quad \quad (2)$

　　其中：

• • $q_{i j}$ 是表示  $z_{i}$  和聚类中心  $\mu_{j}$  之间的相似度。定义为：

　　　　　　${\large q_{i j}=\frac{\left(1+\left\|z_{i}-\mu_{j}\right\|^{2}\right)^{-1}}{\sum_{j}\left(1+\left\|z_{i}-\mu_{j}\right\|^{2}\right)^{-1}}}\quad \quad  \quad (3) $

• • Eq.2 中的 $p_{ij}$  是目标分布，定义为：

　　　　　　${\large p_{i j}=\frac{q_{i j}^{2} / \sum_{i} q_{i j}}{\sum_{j}\left(q_{i j}^{2} / \sum_{i} q_{i j}\right)}}\quad \quad\quad(4) $

　　DEC算法：

• • 首先，对原始数据集  $X$ ，跑一遍 AE ，获得 Encoder 生成的表示  $z_{i}=f_{W}\left(x_{i}\right)$ ；
  • 其次，基于  ${z_i}$ ，使用传统的  $k-means$ ，获得若干聚类中心 ${\mu _j}$；
  • 然后，根据 Eq.3 和 Eq.4 计算得的  $q_{ij}$  和  $p_{ij}$  去计算  Eq.2 中的 $L$；
  • 最后，根据  $q_{ij}$  进行  $label$  分配。

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3 Improved Deep Embedded Clustering

• Consider a dataset  $X$  with  $n$  samples and each sample  $x_{i} \in   \mathbb{R}^{d}$  where  $d$  is the dimension.
• The number of clusters  $K$  is a priori knowledge and the  $j$  th cluster center is represented by  $\mu_{j} \in \mathbb{R}^{d}$ . Let the value of  $s_{i} \in\{1,2, \ldots, K\}$  represent the cluster index assigned to sample  $x_{i}$ .
• Define nonlinear mapping  $f_{W}: x_{i} \rightarrow z_{i}$  and  $g_{W^{\prime}}: z_{i} \rightarrow x_{i}^{\prime}$  where  $z_{i}$  is the embedded point of  $x_{i}$  in the low dimensional feature space and  $x_{i}^{\prime}$  is the reconstructed sample for  $x_{i}$ .

　　目标：寻找最佳的 $f_{W}$ 来获得更好的  $\left\{z_{i}\right\}_{i=1}^{n}$  ，以便更好的做聚类任务。

　　本文 model 有两个必不可少的部分：

• • Autoencoder；
  • clustering loss；

　　模型架构如 Fig.1. 所示：

　　

　　目标函数定义为：

　　　　$L=L_{r}+\gamma L_{c}\quad\quad \quad (6)$

　　其中：

• • $L_{r} $  是重构损失；
  • $L_{c}$  是聚类损失；
  • $ \gamma>0$  是控制 the degree of distorting embedded space 的系数，当  $\gamma=1$  或  $L_{r} \equiv 0$  即是DEC的目标函数；

　　Q2：$ \gamma$  这个系数为什么这么加，看过很多文章这么写，但是不知道为什么一定加这？

　　A2：知道的可以再评论区抒发见解。

3.1 Clustering loss and Initialization

　　回顾 DEC 聚类损失函数（参考前面提到的 Eq.2. 、Eq.3.、Eq.4.）：

　　　　$L_{c}=K L(P \| Q)=\sum\limits_{i} \sum\limits _{j} p_{i j} \log \frac{p_{i j}}{q_{i j}}\quad\quad \quad (7)$

　　通过 DEC model  给的启发：

• • 预训练：使用堆叠降噪自编码器（stacked denoising autoencoder）。
  • 然后基于预训练生成的有效表示  $\left\{z_{i}=f_{W}\left(x_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}$  使用  $k-means $ 获得聚类中心  $\left\{\mu_{j}\right\}_{j=1}^{K}$ 。

3.2 Local structure preservation

　　由于 DEC 直接丢弃 Decoder 并通过聚类损失 $L_{c}$  直接微调编码器，可能造成嵌入空间的扭曲。[ 说白了就是研究  Decoder 的影响 ]

　　所以本文提出保持解码器不变，直接将聚类损失加到嵌入空间中去。

　　本文将堆叠降噪自编码器替换为欠完备自编码器 [ 理由是聚类需要干净的数据，个人感觉就是那个实验效果好选那个 ]，重构损失  [  Mean Squared Error ]  ：

　　　　$L_{r}=\sum\limits _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-g_{W^{\prime}}\left(z_{i}\right)\right\|_{2}^{2}\quad \quad \quad (8)$

　　这里建议  $ \gamma$  最好小于 $1$ ，这将在在 4.3 节通过实验证明。

3.3 Optimization

　　Eq.6 采用小批量随机梯度下降法优化，有三个参数需要优化，分别是：

1. 1. 自编码器的权重参数
   2. 聚类中心  $u_j$
   3. 目标分布  $P$

　　首先阐述：更新自编码器权重参数和聚类中心
　　固定目标分布 $P$ ，优化

　　　　$\frac{\partial L_{c}}{\partial z_{i}}=2 \sum\limits _{j=1}^{K}\left(1+\left\|z_{i}-\mu_{j}\right\|^{2}\right)^{-1}\left(p_{i j}-q_{i j}\right)\left(z_{i}-\mu_{j}\right)\quad\quad\quad (9)$

　　　　$\frac{\partial L_{c}}{\partial \mu_{j}}=2 \sum\limits _{i=1}^{n}\left(1+\left\|z_{i}-\mu_{j}\right\|^{2}\right)^{-1}\left(q_{i j}-p_{i j}\right)\left(z_{i}-\mu_{j}\right)\quad\quad\quad (10)$

　　然后根据上式可以计算出：

• • 聚类中心更新公式：

　　　　　　$\mu_{j}=\mu_{j}-\frac{\lambda}{m} \sum\limits _{i=1}^{m} \frac{\partial L_{c}}{\partial \mu_{j}}\quad \quad \quad (11)$

• • 解码器权重参数更新公式：

　　　　　　${\large W^{\prime}=W^{\prime}-\frac{\lambda}{m} \sum\limits _{i=1}^{m} \frac{\partial L_{r}}{\partial W^{\prime}}} \quad\quad\quad(12)$

• 编码器权重更新公式为：

　　　　　　${\large W=W-\frac{\lambda}{m} \sum\limits _{i=1}^{m}\left(\frac{\partial L_{r}}{\partial W}+\gamma \frac{\partial L_{c}}{\partial W}\right)}\quad \quad \quad (13)$ $

　　然后阐述：更新目标分布

　　由于目标分布  $P$  是基于 soft label [ $p_{ij}$ 依托于 $q_{ij}$ ]  ，频繁更新容易造成不稳定，所以  $P$  的更新并没有在每个  iter  中更新，而是在每个  batch  中更新。但是实际上，本文是在 每  T iterations  进行更新。label 分配方法如下：

　　　　$s_{i}=\arg \; \underset{j}{max}\; \; q_{i j}\quad \quad \quad (14)$

　　这里当连续两次分配的百分比小于 $\delta$  将停止训练。

　　整个算法被总结在算法1中。

　　

　　IDEC 的算法复杂度为  $O\left(n D^{2}+n d K\right)$  ，其中 $D$、$d$、$K$  分别为隐层中神经元的最大数量、嵌入层的维数和 cluster 的数量。通常  $ K \leq d \leq D$  ，所以时间复杂度可以简化为  $O\left(n D^{2}\right)$ 。

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4 Experiments

4.1 DataSets

• MNIST [图像数据集]：70000张手写数字图
• USPS [图像数据集]：9298张灰度手写数字图
• REUTERS-10K [文本数据集]：810000篇有标签新闻报道，这边采样10000篇报道。

　　

4.2 Results

　　实验1：实验结果如  Table 2  所示：

　　

　　结论：

• • 深度聚类方法： AE+k-means, DEC和 IDEC 表现明显优于传统方法，但这三种方法之间仍存在很大的差距。
  • AE+k-means 和 DEC 相比证明了聚类损失的指导意义，DEC 和 IDEC 相比证明了自编码器可以提高聚类性能。

　　实验2：DEC 和 IDEC 对比实验：

　　

　　结论：

• • IDEC 聚类精度高于 DEC ;
  • IDEC 收敛慢于 DEC ;
  • IDEC 聚类损失高于 DEC ;
  • 最后几次迭代重构损失和初始迭代损失相差不大；

　　实验3：DEC 和 IDEC 可视化对比实验：

　　

　　上下行分别是 IDEC 和  DEC  的  t-SNE 可视化结果。

　　实验4：DEC 和 IDEC 参数  $\lambda$ 和  $ \gamma$  的对比实验：

　　

　　结论：

• • IDEC在最佳学习率  $\lambda=0.1$  的情况下优于 DEC 在最佳学习率  $\lambda=0.01$ 当  $ \gamma \in [0.05,1.0]$ ；
  • 对于较大的  $\lambda$  需要搭配较小的 $\lambda$ ；

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5 Conclusion

　　本文提出了改进的深度嵌入式聚类(IDEC)算法，该算法联合进行了聚类，并学习了适合于聚类的嵌入式特征，并保留了数据生成分布的局部结构。IDEC通过优化基于KL散度的聚类损失来操纵特征空间来散射数据。它通过合并一个自动编码器来维护局部结构。实验实验表明，结构保存对深度聚类算法至关重要，有利于聚类性能。未来的工作包括：在IDEC框架中添加更多的先验知识（如稀疏性），并为图像数据集合并卷积层。

Last modify ：2022-02-13  17:54:31

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