字符串与模式匹配算法（三）：KMP算法

一、KMP算法介绍

　　KMP算法与前面的MP算法一脉相承，都是充分利用先前匹配的过程中已经得到的结果来避免频繁回溯。回顾一下MP算法，如下图的模式串偏移，当前模式字符串P的左端的p₀与目标字符串T中t_j位置对齐。从左向右逐个进行比较，发现 p_i 处的字符a 与 t_j+1 处字符b发生失配。同时也表明 P(p₀,p₁,...,p_i-1) 与 T'(t_j,t_j+1,...,t_j+i-1) 是完全匹配的，这一部分子串在图中用字母u标示出。由于发生失配，随即移动模式字符串并进行下一轮的比较。此时，很自然地希望移动之后的结果可以使得模式字符串P中的一个前缀v，可以匹配到子串u的某一部分后缀。所以MP算法引入一个mpNext数组，并用它来对P中最长前缀进行标记。然后根据P_mpNext[i] = c 和 T_i+j = b 之间展开下一轮比较。

　　在MP算法的基础上再推进一步，继续前面的过程，当模式字符串P完成一次移动后，接下来马上要进行的工作是比较字符 b 和 c，为了避免随之而来的一次失配，在仅仅知道模式字符串P的情况下，保证一次移动后，紧随着前缀字符串v之后的那个字符c不等于原来失配的字符a（满足这个条件的最长前缀v是字符串u的加标边际）。KMP算法需要对mpNext表中符合要求的加标边际进行标识，符合要求指的是：① v可以匹配到u中某个后缀的最长前缀； ② 紧跟在v后面的字符c不同于紧跟在u后面的字符a。

二、kmpNext表的规则

　　在mpNext表生成的基础上，建立kmpNext表的规则分为4种情况，其中 1≤j≤m-1：

1. 如果 mpNext[j] = 0 且 p_j = p₀，则令kmpNext[j] = -1；

2. 如果 mpNext[j] = 0 且 p_j ≠ p₀，则令kmpNext[j] = 0；

3. 如果 mpNext[j] ≠ 0 且 p_j ≠ p_mpNext[j]，则令kmpNext[j] = mpNext[j]；

4. 如果 mpNext[j] ≠ 0 且 p_j = p_mpNext[j]，则用mpNext[j]中的值替换原来mpNext[j]中的j值，直到情况转换为前面3种情况的一种，从而递归求解kmpNext[j]。

　　在 j =0 的位置同样是 -1，并令kmpNext[m] = mpNext[m]，m是模式串P的长度。kmpNext[m]的值也是指示了后续进行匹配而需要将模式字符串移动的位数。

　　kmpNext表：

j	0	1	2	3	4	5	6	7
p(j)	c	a	a	t	c	a	t
mpNext[j]	-1	0	0	0	0	1	2	0
kmpNext[j]	-1	0	0	0	-1	0	2	0

三、代码

 1     public void preKmp(char[] x, int m, int[] kmpNext) {
 2         int i, j;
 3         i = 0;
 4         j = kmpNext[0] = -1;
 5         while(i < m-1) {
 6             while (j > -1 && x[i] != x[j])
 7                 j = kmpNext[j];
 8             i++;
 9             j++;
10             if (x[i] == x[j])
11                 kmpNext[i] = kmpNext[j];
12             else
13                 kmpNext[i] = j;
14         }
15     }
16
17     public void kmp(String p, String t) {
18         int m = p.length();
19         int n = t.length();
20
21         if (m > n) {
22             System.err.println("Unsuccessful match!");
23             return;
24         }
25
26         char[] x = p.toCharArray();
27         char[] y = t.toCharArray();
28
29         int i = 0;
30         int j = 0;
31         int[] kmpNext = new int[m+1];
32         preKmp(x, m, kmpNext);
33
34         while (j < n) {
35             while (i > -1 && x[i] != y[j])
36                 i = kmpNext[i];
37             i++;
38             j++;
39             if (i >= m) {
40                 System.out.println("Matching index found at: " + (j - i + 1));
41                 i = kmpNext[i];
42             }
43         }
44     }